[논문 리뷰] An algebraic model for mod 2 topological cyclic homology

Kathryn Hess|arXiv (Cornell University)|2004. 12. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순연결된 유한형태의 CW 복합체에 대해 모듈로 2 위상 순환 호모로지의 대수적 모델을 구축한다. 자유 루프 공간과 그 호모토피 궤도를 모델링하는 코チェ인 복합체를 정의함으로써 이루어지며, 주요 기여는 $ TC(X;2) $의 모듈로 2 스펙트럼 호모로지를 계산하는 모듈로 2 코호모로지를 갖는 코체인 복합체 $ tc^*(X) $를 정의하는 것이다. 특히 $ S^{2n+1} $에 대해 명시적인 계산을 수행하여 $ \mathbb{F}_2 $ 위의 특정 계수 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

For any space X with the homotopy type of simply-connected, finite-type CW-complex, we construct an associative cochain algebra fls(X) whose cohomology algebra is isomorphic to that of LX, the free loop space on X. For certain X, we define a cochain map from fls(X) to itself that is a good model of the pth-power operation on LX. Under additional conditions on X, e.g., when X is a wedge of spheres, we define a cochain complex hos(X) by twisting together fls(X) and H*(BS^1) and prove that the cohomology of hos(X) is isomorphic to the Borel cohomology of LX. Finally, we define tc(X) to be the mapping cone of the composite of the projection map from hos(X) to fls(X) with the model of the pth-power map (for p=2), so that the mod 2 spectrum cohomology of TC(X;2), the topological cyclic homology of X at 2, is isomorphic to the mod 2 cohomology of tc(X). We conclude by calculating the mod 2 spectrum homology of TC(S^{2n+1}; 2).

연구 동기 및 목표

• 단순연결된 유한형태의 CW 복합체 $ X $에 대해 모듈로 2 위상 순환 호모로지의 대수적 코체인 모델을 구축하는 것.
• 자유 루프 공간 $ \mathcal{L}X $ 및 그 호모토피 궤도 공간 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $의 코호모로지를 비틀린 코체인 복합체를 사용하여 대수적으로 모델링하는 것.
• 자유 루프 공간 $ \mathcal{L}X $ 위의 $ p^\text{th} $-거듭제곱 연산(특히 $ p=2 $인 경우)을 모델링하는 코체인 사상 정의. 이는 $ TC(X;2) $를 구성하는 데 필수적이다.
• 모듈로 2 코호모로지가 $ TC(X;2) $의 모듈로 2 스펙트럼 코호모로지를 실현하는 코체인 복합체 $ tc^*(X) $를 정의함으로써 계산 가능한 대수적 모델을 제공하는 것.
• 구축된 모델을 사용하여 $ \operatorname{H}^*(TC(S^{2n+1};2);\mathbb{F}_2) $를 명시적으로 계산하고, $ \mathbb{F}_2 $ 위의 특정 계수 구조를 드러내는 것.

제안 방법

• 공변환 복합체를 사용하여 $ X $의 코체인 대수 위에서 바르 건축을 적용함으로써, $ \operatorname{H}^*(fls^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X) $를 만족하는 결합 대수를 갖는 연속 코체인 대수 $ fls^*(X) $를 구성한다.
• 호모토피 작용과 $ p^\text{th} $-거듭제곱 연산을 포함한 미분을 갖는 복합체로 $ fls^*(X) $와 $ \operatorname{H}^*(BS^1) $를 조합하여 $ hos^*(X) $를 정의한다.
• 대각선에 의해 유도되는 $ \psi_K^\sharp \chi $-사상에 의해 유도된 코체인 사상으로서, $ \mathcal{L}X $ 위의 $ p^\text{th} $-거듭제곱 연산을 $ fls^*(X) $ 위의 코체인 사상으로 모델링한다.
• 투영 사상 $ hos^*(X) \to fls^*(X) $와 $ p^\text{th} $-거듭제곱 사상의 모델 복합체의 코어를 정의함으로써 $ tc^*(X) $를 정의한다. 이 복합체의 미분 $ D_{\tilde{\pi}} $는 호모토피 프로젝션의 구조를 캡처한다.
• $ tc^*(X) $의 $ \mathbb{F}_2 $-선형화를 사용하여 $ \operatorname{H}^*(tc^*(X) \otimes \mathbb{F}_2) $를 계산하며, 이는 $ \operatorname{H}^*(TC(X;2);\mathbb{F}_2) $와 동형이다.
• $ S^{2n+1} $에 대해 최소 코체인 모델 $ \Lambda z $를 사용하여 $ tc^*(S^{2n+1}) $의 코호모로지를 모듈로 2로 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순연결된 유한형태의 CW 복합체에 대해 모듈로 2 위상 순환 호모로지의 대수적 코체인 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 자유 루프 공간 $ \mathcal{L}X $ 및 그 호모토피 궤도 공간 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $의 코호모로지를 비틀린 코체인 복합체를 사용하여 어떻게 대수적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 $ \mathcal{L}X $ 위의 $ p^\text{th} $-거듭제곱 연산의 대수적 구조는 무엇이며, 이를 어떻게 코체인 사상으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 모듈로 2 코호모로지가 $ TC(X;2) $의 모듈로 2 스펙트럼 코호모로지를 계산하는 코체인 복합체가 존재하는가? 그리고 이는 구에 대해 명시적으로 가능할 수 있는가?
• RQ5 $ TC(S^{2n+1};2) $의 명시적 모듈로 2 코호모로지는 무엇이며, 이는 모델의 대수적 구조를 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• $ fls^*(X) $ 복합체는 자유 루프 공간 $ \mathcal{L}X $의 코호모로지를 모델링하며, 대수적으로 $ \operatorname{H}^*(fls^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X) $를 만족한다.
• $ hos^*(X) $ 복합체는 호모토피 궤도 공간 $ \mathcal{L}X_{hS^1} $의 코호모로지를 모델링하며, 계수 모듈로로서 $ \operatorname{H}^*(hos^*(X)) \cong \operatorname{H}^*(\mathcal{L}X_{hS^1}) $를 만족한다.
• $ \mathcal{L}X $ 위의 $ p^\text{th} $-거듭제곱 연산은 $ fls^*(X) $ 위의 코체인 사상으로 모델링되며, $ \Gamma sz $ 위에서 $ \psi_K^\sharp \chi $의 작용은 $ \psi_K^\sharp \chi(sz(m)) = 2^m sz(m) $로 주어진다.
• $ tc^*(X) $ 복합체는 $ hos^*(X) \to fls^*(X) $의 투영과 $ p^\text{th} $-거듭제곱 모델의 복합체의 코어로 정의되며, $ \operatorname{H}^*(tc^*(X) \otimes \mathbb{F}_2) \cong \operatorname{H}^*(TC(X;2);\mathbb{F}_2) $를 만족한다.
• $ X = S^{2n+1} $인 경우, $ TC(S^{2n+1};2) $의 모듈로 2 코호모로지는 다음의 계수 구조를 갖는다: $ \bigoplus_{k \geq 1, m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v^k \otimes sz(2m)) \oplus \bigoplus_{k \geq 0, m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v^k \otimes x \otimes sx(2m+1)) \oplus \bigoplus_{m \geq 0} \mathbb{F}_2 \cdot s(v \otimes sz(2m+1)) $. 이것은 계수 구조로서의 유한 차원 벡터 공간이다.
• 모듈로 2에서 미분 $ D_{\tilde{\pi}} $는 간소화되어, $ m $ 가 홀수일 때 $ D_{\tilde{\pi}}(s(1 \otimes z \otimes sz(m))) = z \otimes sz(m) $를 만족하고, $ m $ 가 짝수일 때는 $ s(\upsilon \otimes 1 \otimes sz(m+1)) $ 항을 포함한다.