[논문 리뷰] An algorithm for calculating the set of superhedging portfolios and strategies in markets with transaction costs

Andreas Löhne, Birgit Rudloff|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 28.

Stochastic processes and financial applications인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 비례 거래비용이 존재하는 이산시간 모델에서 다중 자산에 대한 슈퍼헤징 포지션과 전략의 집합을 계산하기 위해 선형 벡터 최적화 기반의 재귀적 알고리즘을 제안한다. 문제를 사건 트리에서 뒤로 돌아가 재구성하고, 벡터 최적화를 통해 해결함으로써, 거래비용이 존재하는 다중 자산 슈퍼헤징의 수치적 계산이 가능해지며, 전방으로 전략을 재구성하고, 쌍대성 이론을 통해 스칼라 슈퍼헤징과의 연결 고리를 형성한다.

ABSTRACT

We study the explicit calculation of the set of superhedging portfolios of contingent claims in a discrete-time market model for d assets with proportional transaction costs. The set of superhedging portfolios can be obtained by a recursive construction involving set operations, going backward in the event tree. We reformulate the problem as a sequence of linear vector optimization problems and solve it by adapting known algorithms. The corresponding superhedging strategy can be obtained going forward in the tree. Examples are given involving multiple correlated assets and basket options. Furthermore, we relate existing algorithms for the calculation of the scalar superhedging price to the set-valued algorithm by a recent duality theory for vector optimization problems. The main contribution of the paper is to establish the connection to linear vector optimization, which allows to solve numerically multi-asset superhedging problems under transaction costs.

연구 동기 및 목표

• 비례 거래비용이 존재하는 다중 자산 시장에서 슈퍼헤징 포지션 전체 집합을 수치적으로 계산할 수 있는 방법을 개발하기 위해.
• 슈퍼헤징 문제를 계산 가능성을 확보하기 위해 선형 벡터 최적화 문제의 시퀀스로 재구성하기 위해.
• 뒤로 계산한 후 사건 트리에서 전방으로 이동하면서 슈퍼헤징 전략을 재구성할 수 있도록 하기 위해.
• 최근의 벡터 최적화 이론을 활용한 쌍대성 이론을 통해 스칼라 슈퍼헤징 가격과 제안된 집합값 접근법 사이의 이론적 연결 고리를 확립하기 위해.
• 현실적인 거래비용 영향을 받는 시장에서 상당권리의 가격 책정과 헤징을 위한 실용적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 문제는 사건 트리의 뒤에서부터 재귀적으로 해결되며, 각 노드에서 집합 연산을 적용하여 슈퍼헤징 포지션 집합을 결정한다.
• 뒤로 가는 재귀의 각 단계는 기존 알고리즘을 활용할 수 있는 선형 벡터 최적화 문제로 재구성된다.
• 각 노드의 해는 향후 포지션 제약 조건과 자산 보유량을 나타내는 집합의 교차와 민코프스키 합을 계산하는 것으로 구성된다.
• 뒤로 계산이 끝난 후, 계산된 포지션 집합을 기반으로 사건 트리에서 전방으로 전략을 재구성한다.
• 벡터 최적화의 쌍대성 이론을 활용하여 집합값 해가 스칼라 슈퍼헤징 가격과 어떻게 연결되는지 분석한다.
• 상관관계가 있는 자산과 바스켓 옵션을 포함한 예시를 통해 방법의 수치적 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비례 거래비용이 존재하는 다중 자산 시장에서 슈퍼헤징 포지션 집합을 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 거래비용 존재 시 집합값 슈퍼헤징과 스칼라 슈퍼헤징 가격 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 선형 벡터 최적화 기법은 비용이 존재하는 다중 자산 슈퍼헤징 문제를 효과적으로 해결하는 데 적합한가?
• RQ4 계산된 포지션 집합에서 대응하는 슈퍼헤징 전략을 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ5 벡터 최적화에서의 쌍대성은 스칼라와 집합값 슈퍼헤징 해를 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 비례 거래비용이 존재하는 다중 자산 파생상품에 대해 슈퍼헤징 포지션 전체 집합의 수치적 계산을 가능하게 한다.
• 문제는 기존의 해법이 적용 가능한 선형 벡터 최적화 문제의 시퀀스로 재구성되어 있다.
• 집합 연산을 포함한 뒤로 가는 재귀는 사건 트리 전반에 걸쳐 포지션 제약 조건을 정확히 추적할 수 있도록 한다.
• 전방으로 전략을 재구성함으로써 계산된 포지션들이 실질적으로 구현 가능함을 보장한다.
• 쌍대성 이론을 통해 스칼라 슈퍼헤징과의 연결 고리가 확립되어 집합값 접근법의 타당성이 검증된다.
• 바스켓 옵션과 상관관계가 있는 자산을 포함한 예시들은 방법의 타당성과 현실 시장 환경에서의 적용 가능성을 확인한다.