[논문 리뷰] An algorithm for optimal transport between a simplex soup and a point cloud

Quentin Mérigot, Jocelyn Meyron외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 20인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 2차원에서 d차원의 단체들로 이루어진 단체 셋(2차원에서 d차원의 단체들의 합집합에 지지되는) 측도와 ℝᵈ 내의 이산 점 클러스터 간 최적 운반 지도를 계산하기 위한 감쇠 뉴턴 알고리즘을 제시한다. 이 방법은 라거르 다이어그램 기반 비선형 연립방정식을 해결하며, 일반성 조건과 연결성 조건 하에서 선형 수렴성을 증명한다. 이를 통해 표면 양자화, 리메시킹, 점 집합 정렬 등의 응용이 가능해지며, ICP보다 향상된 수렴 성능을 보인다.

ABSTRACT

We propose a numerical method to find the optimal transport map between a measure supported on a lower-dimensional subset of R^d and a finitely supported measure. More precisely, the source measure is assumed to be supported on a simplex soup, i.e. on a union of simplices of arbitrary dimension between 2 and d. As in [Aurenhammer, Hoffman, Aronov, Algorithmica 20 (1), 1998, 61--76] we recast this optimal transport problem as the resolution of a non-linear system where one wants to prescribe the quantity of mass in each cell of the so-called Laguerre diagram. We prove the convergence with linear speed of a damped Newton's algorithm to solve this non-linear system. The convergence relies on two conditions: (i) a genericity condition on the point cloud with respect to the simplex soup and (ii) a (strong) connectedness condition on the support of the source measure defined on the simplex soup. Finally, we apply our algorithm in R^3 to compute optimal transport plans between a measure supported on a triangulation and a discrete measure. We also detail some applications such as optimal quantization of a probability density over a surface, remeshing or rigid point set registration on a mesh.

연구 동기 및 목표

• 하나의 낮은 차원의 단체 측도와 이산 점 클러스터 간에 안정적인 수치 알고리즘을 개발하기 위해.
• 기본적인 Brenier 이론이 적용되지 않는 낮은 차원의 단체들(예: 모서리 또는 면)에 지지되는 측도를 다룰 때 발생하는 이론적 및 수치적 과제를 해결하기 위해.
• 이 비정상적인 설정에서 반세미-연속 최적 운반 문제를 해결하기 위한 감쇠 뉴턴 방법의 선형 수렴성을 증명하기 위해.
• 표면 처리 작업(예: 최적 양자화, 리메시킹, 강체 점 집합 정렬 등)에 적용 가능한 실용적인 계산 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 라거르 세포의 질량을 규정함으로써 최적 운반 문제를 비선형 연립방정식으로 재구성한다.
• G(ψ) = ν 형태의 시스템을 감쇠 뉴턴 방법으로 해결하며, 여기서 Gᵢ(ψ) = μ(Lagᵢ(ψ))는 i번째 라거르 세포의 측도이다.
• 두 조건 하에서 수렴성을 확립한다: 점 클러스터가 단체 셋에 대해 일반적이며, 원천 측도의 지지 집합이 강하게 연결되어 있다.
• G가 볼록 함수의 기울기임을 활용함으로써 문제의 잘 정의됨과 뉴턴 반복의 단조성 보장.
• 라거르 세포 중심을 기반으로 점 클러스터를 업데이트함으로써 최적 양자화, 리메시킹, 정렬과 같은 고차원 작업에서 반복적으로 알고리즘을 적용한다.
• 단체 위에서의 수치 적분과 ℝᵈ 내의 비-보통 비르기니아 타입 구성으로 라거르 다이어그램을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 차원의 단체 측도와 이산 점 클러스터 간 최적 운반에 대해 감쇠 뉴턴 방법이 선형으로 수렴할 수 있는가?
• RQ2 이 비정상적인 설정에서 최적 운반 지도의 존재성과 유일성을 보장하는 기하학적 및 위상수학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 원천 측도가 낮은 차원의 단체들의 합집합에 지지될 경우, 최적 운반 지도를 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 이 알고리즘이 고차원 기하 처리 작업의 구성 요소로 얼마나 잘 재사용될 수 있는가?
• RQ5 ICP의 최근접 이웃 쿼리 대신 최적 운반 기반 할당을 사용할 경우 수렴 속도가 향상되는가?

주요 결과

• 일반성 조건과 연결성 조건 하에서, 감쇠 뉴턴 알고리즘이 단체 측도와 점 클러스터 간 반세미-연속 최적 운반 문제의 해에 대해 선형 수렴성을 보인다.
• 원천 측도가 2차원 또는 1차원 단체에 지지되어 있을 경우에도 이 방법은 Brenier 정리의 낮은 차원에서의 한계를 극복하며 최적 운반 지도를 성공적으로 계산한다.
• 최적 양자화의 경우, 알고리즘은 삼각분할 표면 위에서 목표 밀도와의 워샤르-거리가 국소적으로 최소화되는 점 클러스터를 생성한다.
• 리메시킹의 경우, 알고리즘은 주어진 원천 측도를 반영하는 삼각형 밀도를 가진 표면 메시를 생성하며, 유한요소 이산화의 품질을 향상시킨다.
• 강체 점 집합 정렬의 경우, OT-ICP 변형은 표준 ICP의 20회 반복 대비 3회 반복 내에 수렴함을 보이며, 더 빠른 수렴 속도를 입증한다. 다만 잔차 오차는 略로 높을 수 있다.
• 50개에서 1000개의 점을 포함하는 문제에서 계산 시간은 3초(4회 반복)에서 74초(14회 반복)까지 다양하며, 중간 크기의 입력에 대해 확장 가능함을 시사한다.