[논문 리뷰] An algorithm for the T-count

David Gosset, Vadym Kliuchnikov외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 N=2^n이고 m는 목표 T-카운트일 때, 시간과 공간 복잡도가 O(N^m poly(m,N))로 제한되는 고전적 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 클리포드+T 회로에서 n-qubit 유니터리 U의 T-카운트를 계산한다. 알고리즘은 클리포드+T 게이트의 특수한 표현 방식을 사용하는 미트인더미들 전략을 활용하며, Toffoli 및 Fredkin 게이트가 정확히 7개의 T 게이트를 필요로 함을 증명하여 T-최적성임을 확인한다.

ABSTRACT

We consider quantum circuits composed of Clifford and T gates. In this context the T gate has a special status since it confers universal computation when added to the (classically simulable) Clifford gates. However it can be very expensive to implement fault-tolerantly. We therefore view this gate as a resource which should be used only when necessary. Given an n-qubit unitary U we are interested in computing a circuit that implements it using the minimum possible number of T gates (called the T-count of U). A related task is to decide if the T-count of U is less than or equal to m; we consider this problem as a function of N=2^n and m. We provide a classical algorithm which solves it using time and space both upper bounded as O(N^m poly(m,N)). We implemented our algorithm and used it to show that any Clifford+T circuit for the Toffoli or the Fredkin gate requires at least 7 T gates. This implies that the known 7 T gate circuits for these gates are T-optimal. We also provide a simple expression for the T-count of single-qubit unitaries.

연구 동기 및 목표

• 클리포드+T 게이트 세트에서 n-큐비트 유니터리의 T-카운트를 효율적으로 계산하는 고전적 알고리즘을 개발하는 것.
• 주어진 n-큐비트 유니터리 U가 최대 m개의 T 게이트로 구현 가능한지 여부를 판단하는 것, 즉 COUNT-T 문제를 해결하는 것.
• 애너실라 큐비트 없이 기본적인 다중큐비트 게이트인 Toffoli 및 Fredkin 게이트의 정확한 T-카운트를 규명하는 것.
• 채널 표현을 사용하여 단일큐비트 유니터리의 T-카운트를 특성화하는 것.
• 기존의 7-T-게이트 회로가 애너실라 없이 T-최적임을 입증하는 것.

제안 방법

• T-카운트 최적화를 위한 지수적 탐색 공간을 줄이기 위해 미트인더미들 전략을 사용한다.
• T 게이트를 분리하고 코셋 분해를 통해 위치를 추적하는 정규형을 사용하여 클리포드+T 유니터리를 표현한다.
• 클리포드 군의 군 구조를 활용하여 유니터리를 T 게이트와 클리포드 연산자의 곱으로 재귀적으로 분해한다.
• k ≤ m인 D_k^n 코셋 데이터베이스를 구축하고 저장하여 k개의 T 게이트로 도달할 수 있는 유니터리의 동치류를 표현한다.
• 좌우 양측에서 클리포드 연산자로 곱하기를 통해 목표 유니터리를 알려진 T-카운트와 매칭시키는 이중 측면 검색을 적용한다.
• 모든 유니터리가 J_n(클리포드+T 군)에 속하고, 행렬 원소가 Z[i, 1/√2]이며, n≥4일 때 행렬식이 1인 경우, T-카운트 최소화 회로로 분해될 수 있음을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클리포드+T 게이트 세트에서 주어진 n-큐비트 유니터리 U의 T-카운트를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 시간과 공간 복잡도가 O(N^m poly(m,N))로 제한되는 고전적 알고리즘이 COUNT-T 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 애너실라 큐비트 없이 Toffoli 및 Fredkin 게이트를 구현하는 데 필요한 최소 T-게이트 수는 얼마인가?
• RQ4 단일큐비트 유니터리의 T-카운트는 단순한 대수적 불변량으로 특성화될 수 있는가?
• RQ5 기존의 7-T-게이트 회로가 애너실라 없이 T-최적인가?

주요 결과

• 알고리즘은 시간과 공간 복잡도가 O(N^m poly(m,N))로 제한되어 COUNT-T 문제를 해결한다. 여기서 N=2^n이고 m는 목표 T-카운트이다.
• Toffoli 게이트의 T-카운트는 정확히 7이며, 기존의 7-T-게이트 회로는 애너실라 큐비트 없이 T-최적임을 입증한다.
• Fredkin 게이트의 T-카운트는 정확히 7이며, 동일한 조건 하에서 기존의 7-T-게이트 회로는 T-최적임을 입증한다.
• 알고리즘은 C++로 구현되었으며, m=6를 사용하여 Toffoli 및 Fredkin 게이트의 T-카운트 하한을 성공적으로 검증하였다.
• 단일큐비트 유니터리의 경우, T-카운트는 그 채널 표현의 sde(가장 짧은 분해 지수)에 의해 결정된다.
• 이전 연구에서 제기된 추측, 즉 애너실라 모델에서 Toffoli 게이트는 최소 7개의 T 게이트를 필요로 한다는 것을 이 논문이 확인한다.