[논문 리뷰] An Algorithmic Approach to Address Course Enrollment Challenges

Arpita Biswas, Yiduo Ke외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 시간 충돌과 학점 제한 조건 하에서 공정하고 효율적인 교과목 수강 배정을 위한 알고리즘 프레임워크를 제안한다. 수강 시간을 간격 기반 자원 할당 문제로 모델링하며, 총 유용도의 1/2 요인과 최대-최소 유용도의 1/4 요인을 달성하는 근사선형 시간 알고리즘을 제시한다. 실험적 검증을 통해 정수계획법 대비 훨씬 빠른 실행 시간에 근사 최적 성능를 보이며, 성능이 뛰어나다.

ABSTRACT

Massive surges of enrollments in courses have led to a crisis in several computer science departments - not only is the demand for certain courses extremely high from majors, but the demand from non-majors is also very high. Much of the time, this leads to significant frustration on the part of the students, and getting seats in desired courses is a rather ad-hoc process. One approach is to first collect information from students about which courses they want to take and to develop optimization models for assigning students to available seats in a fair manner. What makes this problem complex is that the courses themselves have time conflicts, and the students have credit caps (an upper bound on the number of courses they would like to enroll in). We model this problem as follows. We have n agents (students), and there are "resources" (these correspond to courses). Each agent is only interested in a subset of the resources (courses of interest), and each resource can only be assigned to a bounded number of agents (available seats). In addition, each resource corresponds to an interval of time, and the objective is to assign non-overlapping resources to agents so as to produce "fair and high utility" schedules. In this model, we provide a number of results under various settings and objective functions. Specifically, in this paper, we consider the following objective functions: total utility, max-min (Santa Claus objective), and envy-freeness. The total utility objective function maximizes the sum of the utilities of all courses assigned to students. The max-min objective maximizes the minimum utility obtained by any student. Finally, envy-freeness ensures that no student envies another student’s allocation. Under these settings and objective functions, we show a number of theoretical results. Specifically, we show that the course allocation under the time conflicts problem is NP-complete but becomes polynomial-time solvable when given only a constant number of students or all credits, course lengths, and utilities are uniform. Furthermore, we give a near-linear time algorithm for obtaining a constant 1/2-factor approximation for the general maximizing total utility problem when utility functions are binary. In addition, we show that there exists a near-linear time algorithm that obtains a 1/2-factor approximation on total utility and a 1/4-factor approximation on max-min utility when given uniform credit caps and uniform utilities. For the setting of binary valuations, we show three polynomial time algorithms for 1/2-factor approximation of total utility, envy-freeness up to one item, and a constant factor approximation of the max-min utility value when course lengths are within a constant factor of each other. Finally, we conclude with experimental results that demonstrate that our algorithms yield high-quality results in real-world settings.

연구 동기 및 목표

• 전공 및 비전공 학생들의 수요가 급증함에 따라 발생하는 컴퓨터 과학 수업 수강의 증가하는 위기를 해결하기 위해.
• 수업 간 시간 충돌과 학생의 학점 제한을 고려한 공정하고 효율적인 배정 메커니즘을 설계하기 위해.
• 총 유용도, 최대-최소(산타클로스) 공정성, 그리고 편애 없음의 세 가지 공정성 목표를 최적화하기 위해.
• 기존 정수계획법보다 실행 시간에서 뛰어나면서도 높은 해의 품질을 유지하는 확장 가능한 알고리즘을 개발하기 위해.
• 실제 데이터와 합성 데이터를 사용하여 접근법을 검증하고, 실용적 적용 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 시간 충돌을 간격 기반으로 모델링한 자원 할당 문제로 수강 배정을 모델링하며, 겹치는 간격은 상호 배제 제약 조건을 생성한다.
• 충돌을 간격 그래프로 표현하여, 어떤 학생도 겹치는 수업을 배정받지 못하도록 보장한다.
• 이분 평가와 균일한 제약 조건 하에서 총 유용도, 최대-최소 유용도 최대화 및 편애 없음을 달성하기 위해 근사 알고리즘을 적용한다.
• 근사선형 시간 알고리즘 프레임워크 내에서 교환 경로 연산과 네트워크 유량 기법을 사용한다.
• 비교를 위해 NetworkX와 Gurobi를 사용하여 두 알고리즘(알고리즘 3 및 4)을 구현하고 평가한다.
• 이분 평가(관심 있음 또는 없음)를 사용하며, 스케줄링을 위해 이산 시간 단위를 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 충돌과 학점 제한 조건이 존재하는 상황에서 총 유용도에 대해 일정 요인 근사가 가능할 수 있는가?
• RQ2 균일한 학점 제한과 균일한 유용도 조건 하에서 최대-최소 공정성 목표(산타클로스)에 대해 달성 가능한 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 간격 기반 충돌 조건 하에서, 하나의 항목을 제외한 편애 없음을 보장하는 다항시간 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 제안된 알고리즘의 성능은 실행 시간과 유용도 측면에서 최적의 정수계획법 솔루션과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 시험 데이터셋을 초월한 더 큰 실세계 인스턴스에서도 알고리즘이 효과적으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 시간 충돌이 있는 수강 배정 문제는 NP-완전이지만, 학생 수 또는 고유한 학점 제한 수, 수업 길이, 유용도 수가 일정할 경우 다항시간 내에 해결 가능해진다.
• 이분 유용도 조건 하에서 근사선형 시간 알고리즘이 총 유용도의 1/2 요인 근사를 달성한다.
• 균일한 학점 제한과 균일한 유용도 조건 하에서 근사선형 시간 알고리즘이 총 유용도의 1/2 요인 근사와 최대-최소 유용도의 1/4 요인 근사를 달성한다.
• 이분 평가와 수업 길이가 일정 요인 내에 있을 경우, 세 개의 다항시간 알고리즘이 총 유용도의 1/2 요인 근사, 하나의 항목을 제외한 편애 없음, 최대-최소 유용도의 일정 요인 근사를 달성한다.
• 실험 결과, 알고리즘 3는 Gurobi 기반 정수계획법 대비 훨씬 빠른 실행 시간에 근사 최적의 유용도를 달성하며, 특히 큰 인스턴스에서 뛰어난 성능를 보였다.
• 알고리즘 4는 작은 인스턴스에서는 느리지만, 더 큰 데이터셋에서 확장성 잠재력을 보이며, 실세계 수강 배정 시스템에 실용적으로 적용 가능함을 시사한다.