[논문 리뷰] An all-at-once preconditioner for evolutionary partial differential equations

Xue-lei Lin, Michael K. Ng|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 04.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간-암시적 이완 PDE의 전기 시스템에 대해 블록 순환(BC) 조절자에 대한 일반화로 블록 ε-순환(BEC) 조절자를 도입한다. 상단 오른쪽 블록에 작은 매개변수 ε를 통합함으로써 BEC 조건자는 대각화 가능성과 항등원-저랭크 구조를 유지하며, 작은 ε에 대해 고유값이 1에 집중되게 하고, 공간 및 시간 이산화 크기와 무관한 선형 수렴 속도를 보장하는 GMRES 수렴을 가능하게 하며, 원래 BC 조건자와 동일한 계산 복잡도를 유지한다.

ABSTRACT

In [McDonald, Pestana and Wathen, extit{SIAM J. Sci. Comput.}, 40 (2018), pp. A1012--A1033], a block circulant preconditioner is proposed for all-at-once linear systems arising from evolutionary partial differential equations, in which the preconditioned matrix is proven to be diagonalizable and to have identity-plus-low-rank decomposition in the case of the heat equation. In this paper, we generalize the block circulant preconditioner by introducing a small parameter $ε>0$ into the top-right block of the block circulant preconditioner. The implementation of the generalized preconditioner requires the same computational complexity as that of the block circulant one.Theoretically, we prove that (i) the generalization preserves the diagonalizability and the identity-plus-low-rank decomposition; (ii) all eigenvalues of the new preconditioned matrix are clustered at 1 for sufficiently small $ε$; (iii) GMRES method for the preconditioned system has a linear convergence rate independent of size of the linear system when $ε$ is taken to be smaller than or comparable to square root of time-step size. Numerical results are reported to confirm the efficiency of the proposed preconditioner and to show that the generalization improves the performance of block circulant preconditioner.

연구 동기 및 목표

• 시간-암시적 이산화로 인한 전기 선형 시스템에 대한 케리 로프 부분공간 방법의 느린 수렴 문제를 해결한다.
• 기존의 블록 순환(BC) 조건자에서의 한계, 특히 공간 이산화에 대한 수렴 독립성의 부재를 극복한다.
• 유리한 스펙트럼 성질을 유지하면서도 강건성과 수렴 행동을 향상시킬 수 있는 일반화된 조건자를 개발한다.
• 새로운 조건자가 원래 BC 조건자와 동일한 계산 복잡도를 유지하도록 보장한다.
• 열 방정식과 대류-확산 방정식에 대한 수치 실험에서 BC 조건자보다 향상된 성능을 입증한다.

제안 방법

• 표준 블록 순환 조건자 상단 오른쪽 블록에 작은 매개변수 ε > 0을 도입하여 블록 ε-순환(BEC) 조건자를 제안한다.
• 빠른 푸리에 변환(FFT)을 통한 BEC 조건자의 대각화를 활용하여 푸리에 도메인에서 효율적인 행렬-벡터 곱셈을 가능하게 한다.
• 라플라스 유형의 공간 연산자에 대해서는 빠른 sine 변환(FST)을 추가로 활용하여 고유 블록을 대각화함으로써 정확하고 빠른 역행렬 계산을 가능하게 한다.
• 일반적인 공간 연산자에 대해서는 다중 격자 등 반복적 해법기를 내부 해법기로 활용하여 조건자의 효율적 역행렬 계산을 수행한다.
• 푸리에 도메인에서 블록 대각 행렬 시스템을 푸는 방식으로 BEC 조건자의 역행렬을 구현함으로써 O(N log N)의 계산 비용을 유지한다.
• 재시작 또는 비재시작 GMRES를 조건화된 시스템에 적용하고, 스펙트럼 집중 및 저랭크 구조에 기반한 수렴 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블록 순환 조건자는 진화 PDE의 전기 시스템에 대해 스펙트럼 성질과 수렴 강건성을 향상시키기 위해 일반화될 수 있는가?
• RQ2 조건자에 매개변수 ε를 도입함으로써 대각화 가능성과 조건화된 행렬의 항등원-저랭크 구조가 유지되는가?
• RQ3 충분히 작은 ε에 대해 BEC-조건화된 행렬의 모든 고유값이 1에 집중되는가? 이는 빠른 케리 로프 부분공간 수렴을 보장하는 데 필수적인가?
• RQ4 BEC-조건화된 시스템의 GMRES 수렴 속도는 시간 및 공간 단계 크기와 무관한가?
• RQ5 일반화된 조건자는 원래 블록 순환 조건자와 동일한 계산 복잡도로 구현될 수 있는가?

주요 결과

• BEC 조건자는 조건화된 행렬의 대각화 가능성과 항등원-저랭크 분해를 유지하여 유리한 스펙트럼 성질을 보장한다.
• 충분히 작은 ε에 대해 BEC-조건화된 행렬의 모든 고유값은 1에 집중되며, 이는 케리 로프 부분공간 수렴을 빠르게 하기 위해 필수적이다.
• ε가 시간 단계 크기의 제곱근과 같거나 작을 경우, BEC-조건화된 시스템의 GMRES는 시스템 크기와 무관하게 선형 수렴 속도를 보인다.
• 열 방정식에 대한 수치 결과에서는 BEC 조건자가 BC 조건자보다 반복 횟수와 CPU 시간을 감소시킨다.
• 대류 지배형 대류-확산 방정식에 대해서는 모든 테스트 격자 크기에서 GMRES-BEC이 GMRES-BC보다 잔여 오차가 낮고 반복 횟수가 적다.
• BEC 조건자는 BC 조건자와 동일한 계산 복잡도를 유지하며, 총 저장 용량과 비용은 미지수의 수와 그 로그 비례한다.