[논문 리뷰] An Analog Analogue of a Digital Quantum Computation

Edward Farhi, Sam Gutmann|ArXiv.org|1996. 12. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 N차원 힐버트 공간 내에서 표적 양자 상태 |w⟩를 시간에 따라 변화하는 하미르토니안을 통해 탐색하는 아날로그 양자 계산 모델을 제시한다. 이 하미르토니안은 표적 하미르토니안 E|w⟩⟨w|와 구동 하미르토니안 E|s⟩⟨s|로 구성되며, N^{1/2}/E 비례하는 시간 내에 최적의 상태 식별을 달성한다. 이는 디지털 양자 알고리즘인 그로버 알고리즘의 제곱근적 가속을 연속시간, 아날로그 프레임워크에서 재현한다.

ABSTRACT

We solve a problem, which while not fitting into the usual paradigm, can be viewed as a quantum computation. Suppose we are given a quantum system described by an N dimensional Hilbert space with a Hamiltonian of the form $E |w >< w|$ where $| w>$ is an unknown (normalized) state. We show how to discover $| w >$ by adding a Hamiltonian (independent of $| w >$) and evolving for a time proportional to $N^{1/2}/E$. We show that this time is optimally short. This process is an analog analogue to Grover's algorithm, a computation on a conventional (!) quantum computer which locates a marked item from an unsorted list of N items in a number of steps proportional to $N^{1/2}$.

연구 동기 및 목표

• 비연속 양자 게이트에 의존하지 않고, 구조가 없는 검색 문제를 해결하는 연속시간 아날로그 양자 계산을 보여주기 위해, N차원 힐버트 공간 내에서 표적 상태 |w⟩를 식별하는 것을 목표로 한다.
• 결합된 하미르토니안 하에서 시간에 따른 진동을 통해 |w⟩를 식별하는 데 소요되는 시간이 최적으로 짧아졌음을 보여주며, 그로버의 디지털 알고리즘의 N^{1/2} 스케일링을 따라가도록 한다.
• 스chrödinger 방정식에 의해 제어되는 물리적 시스템을 구성하여, 알려진 초기 상태 |s⟩에서 |w⟩로 최소 시간 내에 진화하는 방식으로 그로버 알고리즘의 아날로그 대응을 수립한다.
• 시간-에너지 불확정성 원리를 활용하여 하한을 도출함으로써, 주어진 조건 하에서 더 빠른 시간 진동이 존재하지 않음을 증명한다.

제안 방법

• 시스템은 알려진 상태 |s⟩에서 초기화되며, 이는 알려지지 않은 표적 상태 |w⟩와 반드시 수직일 필요는 없다. 내적 ⟨s|w⟩ = x이다.
• 총 하미르토니안 H = H_w + H_D를 구성한다. 여기서 H_w = E|w⟩⟨w|는 표적 상태를 표시하며, H_D = E|s⟩⟨s|는 |w⟩에 독립적인 구동장으로 작용한다.
• H에 따른 시간 진동은 |s⟩와 |w⟩가 생성하는 두 차원 부분공간에서 분석되며, 시간에 따라 변화하는 상태 |ψ_w,t⟩ = e^{-iHt}|s⟩로 표현된다.
• 시간 t에서 |w⟩를 측정할 확률는 P(t) = sin²(Ext) + x²cos²(Ext)이며, t_m = π/(2Ex)에서 최댓값을 이룬다. 이는 E[x²] ≈ 1/N 이므로 N^{1/2}/E 비례로 스케일링된다.
• 변분 원리에 기반한 최적 시간 하한이 유도된다: 서로 다른 |w⟩에 대해 진화된 상태 간의 거리 변화율은 2EN^{1/2} 이하로 제한되며, 이로부터 하한 t ≥ εN^{1/2}/(2E)를 도출한다.
• 시간-에너지 불확정성 원리와 모든 가능한 |w⟩ 상태에 대한 합산을 활용하여, 높은 정밀도로 모든 |w⟩ 상태를 구분할 수 있는 더 빠른 진동이 존재하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속시간 양자 시스템은 N차원 힐버트 공간 내에서 표적 상태 |w⟩를 그로버의 디지털 알고리즘과 동일한 시간 복잡도로 식별할 수 있는가?
• RQ2 아날로그 하미르토니안 진동을 통한 상태 식별에 소요되는 시간이 최적으로 짧은가? 그리고 이를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ3 초기 상태 |s⟩의 선택과 그 오버랩 x = ⟨s|w⟩는 고정밀도 상태 준비에 소요되는 시간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비연속 유니터리 게이트를 사용하지 않고도 아날로그 모델이 그로버 알고리즘과 동일한 N^{1/2} 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ5 단일 구동 하미르토니안을 사용하여 모든 가능한 표적 상태 |w⟩를 구분하는 데 소요되는 시간의 기본 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 연속시간 진동을 통해 표적 상태 |w⟩를 식별하는 데 소요되는 시간은 O(N^{1/2}/E)이며, 이는 그로버의 디지털 양자 알고리즘의 최적 스케일링과 일치한다.
• 최적 시간 t_m = π/(2Ex)는 |w⟩를 측정할 확률가 1이 되며, E[x²] ≈ 1/N 이므로 기대 시간은 O(N^{1/2}/E)로 스케일링된다.
• |w⟩, |r⟩ 기저에서의 효과적 하미르토니안의 고유값 간격은 2xE이며, 이는 O(E/N^{1/2})이므로 시간-에너지 불확정성 원리와 일치한다.
• 엄밀한 하한 t ≥ εN^{1/2}/(2E)가 도출되었으며, 이는 주어진 조건 하에서 모든 가능한 |w⟩ 상태를 고정밀도로 구분할 수 있는 더 빠른 진동이 존재하지 않음을 증명하며 최적성을 확인한다.
• 아날로그 모델은 비연속 유니터리 단계가 아닌 연속시간 진동을 통해 그로버 알고리즘과 동일한 제곱근적 가속을 달성한다.
• |s⟩의 선택에 관계없이 결과는 유지되며, 평균 오버랩 x가 N^{-1/2} 수준이면 된다. 이는 고차원 공간에서의 랜덤 상태에 일반적으로 해당된다.