[논문 리뷰] An analog of adjoint ideals and PLT singularities in mixed characteristic

Linquan Ma, Karl Schwede외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 31.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 39인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 순수 BCM-정규 특이점과 혼합 특성수에서의 보조 이상을 퍼펙토이드 큰 코hen-맥컬레이 대수를 이용해 정의하며, 조정과 조정의 역전을 확립한다. 균일한 브리앙콘-스코다 정리를 증명하고, 잔여 특성수 $p > 5$일 때 두 차원 KLT 특이점이 BCM-정규임을 보이며, 이는 동일 조건 하에서 삼차원 PLT 쌍의 면적 중심이 정규임을 시사한다.

ABSTRACT

We use the framework of perfectoid big Cohen-Macaulay algebras to define a class of singularities for pairs in mixed characteristic, which we call purely BCM-regular singularities, and a corresponding adjoint ideal. We prove that these satisfy adjunction and inversion of adjunction with respect to the notion of BCM-regularity and the BCM test ideal defined by the first two authors. We compare them with the existing equal characteristic PLT and purely $F$-regular singularities and adjoint ideals. As an application, we obtain a uniform version of the Briançon-Skoda theorem in mixed characteristic. We also use our theory to prove that two-dimensional KLT singularities are BCM-regular if the residue characteristic $p>5$, which implies an inversion of adjunction for three-dimensional PLT pairs of residue characteristic $p>5$. In particular, divisorial centers of PLT pairs in dimension three are normal when $p > 5$. Furthermore, in the appendix we provide a streamlined construction of perfectoid big Cohen-Macaulay algebras and show new functoriality properties for them using the perfectoidization functor of Bhatt and Scholze.

연구 동기 및 목표

• 퍼펙토이드 큰 코헨-맥컬레이 대수를 이용해 혼합 특성수에서의 PLT 특이점과 보조 이상의 유사체를 정의하기.
• BCM-정규성과 BCM 테스트 이상에 대해 조정과 조정의 역전을 확립하기.
• 새로운 특이점과 보조 이상을 등차 특성수에서의 PLT와 $F$-정규 특이점과 비교하기.
• 이 틀을 이용해 혼합 특성수에서의 균일한 브리앙콘-스코다 정리 증명하기.
• 잔여 특성수 $p > 5$일 때 두 차원 KLT 특이점이 BCM-정규임을 보이고, 이를 통해 삼차원 PLT 쌍에서의 면적 중심의 정규성 도출하기.

제안 방법

• 혼합 특성수에서 특이점의 해소를 대체하기 위해 퍼펙토이드 큰 코헨-맥컬레이 대수를 사용한다.
• 특이점 $R$ 과 $R/I_D$ 위에서 적절히 선택된 큰 코헨-맥컬레이 대수 $B$ 와 $C$ 를 통해 순수 BCM-정규 특이점을 정의한다.
• 조정과 조정의 역전을 만족하는 보조 이상 $\operatorname{adj}_{B\to C}^D(R,\Delta+D)$ 를 도입한다.
• 기존의 등차 특성수 및 양의 특성수 이론(PLT 및 $F$-정규 특이점 포함)과의 비교를 위해 이 틀을 적용한다.
• Bhatt와 Scholze의 퍼펙토이드화 함자(함수)를 활용해 퍼펙토이드 큰 코헨-맥컬레이 대수의 새로운 함자적 성질을 확립한다.
• Kollár 성분의 맥락에서 할당 차이와 면적 중심의 역상 분석을 위해 확장된 리즈 대수와 베론제 부분대수를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퍼펙토이드 큰 코헨-맥컬레이 대수를 이용해 혼합 특성수에서의 PLT 특이점과 보조 이상의 유사체를 정의할 수 있는가?
• RQ2 혼합 특성수에서 BCM-정규성과 BCM 테스트 이상에 대해 조정의 역전이 성립하는가?
• RQ3 새로운 보조 이상과 특이점은 등차 특성수(PLT) 및 양의 특성수($F$-정규)의 것과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이 틀을 통해 혼합 특성수에서 균일한 브리앙콘-스코다 정리를 확립할 수 있는가?
• RQ5 잔여 특성수 $p > 5$일 때 두 차원 KLT 특이점이 BCM-정규인지 여부와, 이를 통해 삼차원 다면체 PLT 쌍에 대한 결과는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 혼합 특성수에서 순수 BCM-정규 특이점에 대해 조정과 조정의 역전을 확립한다.
• 보조 이상 구성법을 통해 혼합 특성수에서 브리앙콘-스코다 정리의 균일한 형태를 증명한다.
• 잔여 특성수 $p > 5$일 때 두 차원 KLT 특이점이 BCM-정규임을 보이며, 이는 동일 조건 하에서 삼차원 PLT 쌍의 면적 중심이 정규임을 시사한다.
• 보조 이상 $\operatorname{adj}_{B\to C}^D(R,\Delta+D)$ 는 기대되는 조정 공식을 만족하며 제약 조건에 대해 잘 행동한다.
• 이 틀은 새로운 보조 이상과 비틀림 기하학 및 $F$-정규 특이점의 보조 이상 간 비교를 제공하며, 알려진 경우에서의 호환성을 보여준다.
• 부록에서는 퍼펙토이드 큰 코헨-맥컬레이 대수의 간결한 구성법을 제시하고, 퍼펙토이드화 함자를 사용해 새로운 함자적 성질을 증명한다.