[논문 리뷰] An analogue of Eulerian polynomials related to L-type function

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 02.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 22인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 p진 정수 Zp 위에서 p진 페르미온 q적분을 사용하여 딜라이클 유형의 꼬인 오일러 다항식을 도입하고, 그 생성함수와 윌트 유형의 공식을 유도하며, 멜린 변환을 통해 꼬인 오일러-제타 L함수를 정의한다. 주요 결과는 이 L함수가 음의 정수에서 꼬인 오일러 다항식을 보간한다는 것이다. 이는 경로 적분과 잔류값 해석을 통해 함수방정식을 수립함으로써 증명된다.

ABSTRACT

In the present paper, we effect Dirichlet's type of twisted Eulerian polynomials by using p-adic fermionic q-integral on the p-adic integer ring. Also, we introduce some new interesting identities for them. As a result of them, by using contour integral on the generating function of Dirichlet's type of twisted Eulerian polynomials and so we define twisted Eulerian-L-function which interpolates of Dirichlet's type of Eulerian polynomials at negative integers which we state in this paper.

연구 동기 및 목표

• Zp 위에서 p진 페르미온 q적분을 사용하여 딜라이클 유형의 꼬인 오일러 다항식을 정의하고 연구하는 것.
• 이 다항식들의 생성함수와 윌트 유형의 공식을 도출하는 것.
• 생성함수의 멜린 변환을 통해 꼬인 오일러-제타 L함수를 구성하는 것.
• L함수를 통해 음의 정수에서 꼬인 오일러 다항식이 어떻게 보간되는지 규명하는 것.
• p진 해석학, 특수함수, 그리고 수론에서의 L함수 간의 관계를 탐구하는 것.

제안 방법

• 생성함수를 통해 Zp 위에서 p진 페르미온 q적분을 사용하여 꼬인 오일러 다항식을 정의한다.
• 식 (5)의 적분 방정식과 이동 성질을 적용하여 다항식에 대한 윌트 공식 (12)를 유도한다.
• 경로 적분과 코시 잔류값 정리를 사용하여 생성함수와 L함수 간의 관계를 설정한다.
• 생성함수에 멜린 변환을 적용하여 꼬인 오일러-제타 L함수 LE,ζ(s, χ)를 정의한다.
• 해석적 계속성과 잔류값 해석을 통해 함수방정식 LE,ζ(−n, χ) = (−1)^n An,χ,ζ(−q)를 유도한다.
• 테일러 전개와 급수 변환을 사용하여 생성함수를 지수함수 및 멱급수 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 p진 페르미온 q적분을 사용하여 딜라이클 유형의 꼬인 오일러 다항식을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 꼬인 다항식들의 생성함수와 윌트 유형의 공식은 무엇인가?
• RQ3 생성함수로부터 어떻게 꼬인 오일러-제타 L함수를 구성할 수 있는가?
• RQ4 L함수는 음의 정수에서 꼬인 오일러 다항식을 어떤 방식으로 보간하는가?
• RQ5 음의 정수에서 L함수와 다항식 사이의 기능적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 딜라이클 유형의 꼬인 오일러 다항식의 생성함수는 Gq,ζ(t | χ) = [2]q ∑_{l=0}^{d−1} (−1)^l q^{d−l+1} ζ^l χ(l) / (ζ^d e^{−d(1+q)t} + q^d) 로 주어진다.
• 모든 n ∈ ℕ∗에 대해 윌트 공식 I_{−q^{−1}}(ζ^x χ(x) x^n) = (−1)^n / (1+q)^n ⋅ A_{n,χ,ζ}(−q) 가 성립한다.
• 꼬인 오일러-제타 L함수는 LE,ζ(s, χ) = q / (1+q)^{s−1} ∑_{m=1}^∞ (−1)^m χ(m) ζ^m / (q^m m^s) 로 정의된다.
• 모든 n ∈ ℕ에 대해 L함수는 보간 성질 LE,ζ(−n, χ) = (−1)^n A_{n,χ,ζ}(−q) 를 만족한다.
• 곱셈 공식이 도출된다: (−1)^n / (1+q)^n A_{n,χ,ζ}(−q) = d^n / [d]_{−q^{−1}} ∑_{a=0}^{d−1} (−1)^a χ(a) ζ^a q^{−a} ∫_{Z_p} (a/d + x)^n dμ_{−q^{−1}}(x).
• q → 1의 극한에서 관계 An,χ,ζ(−1) = (−2d)^n ∑_{a=0}^{d−1} (−1)^a χ(a) ζ^a E_{n,ζ^d}(a/d) 가 도출되며, 이는 일반화된 오일러 수와 연결된다.