[논문 리뷰] An analogue of the L\'{e}vy-Hin\v{c}in formula for bi-free infinitely divisible distributions

Yinzheng Gu, Hao-Wei Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 22.

Random Matrices and Applications참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 가환 비자유 덧셈 병합에 대해 무한히 나누어지는 컴팩트한 지오메트릭 확률 측도에 대해 bi-free Lévy-Hinłcin 공식의 이론적 유사체를 수립한다. bi-free 누산량과 bi-free 극한정리의 도움을 받아, bi-free 무한히 나누어지는 분포에 대한 적분 표현을 유도하고, 컴팩트한 지오메트릭 측도를 생성하는 덧셈 bi-free 병합 반군과 bi-free Lévy 과정의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive the bi-free analogue of the L\'{e}vy-Hin\v{c}in formula for compactly supported planar probability measures which are infinitely divisible with respect to the additive bi-free convolution introduced by Voiculescu. We also provide examples of bi-free infinitely divisible distributions with their bi-free L\'{e}vy-Hin\v{c}in representations. Furthermore, we construct the bi-free L\'{e}vy processes and the additive bi-free convolution semigroups generated by compactly supported planar probability measures.

연구 동기 및 목표

• 플레인 확률 측도에 대해 고전적 및 자유 bi-free 설정으로의 Lévy-Hinłcin 표현을 확장한다.
• bi-free R-변환과 누산량 생성 함수를 통해 bi-free 무한히 나누어지는 분포를 특성화한다.
• 컴팩트한 지오메트릭 측도를 생성하는 덧셈 bi-free 병합 반군과 bi-free Lévy 과정을 구성한다.
• bi-free 가우시안 및 복합 포아송 분포와 같은 명시적 예를 제시하여 ⊞⊞-무한히 나누어지는 성질을 입증한다.

제안 방법

• 투영을 가진 비가환 확률 공간에서 bi-free 누산량과 모멘트-누산량 공식을 활용한다.
• bi-free 극한정리를 적용하여 무한히 나누어지는 분포에 대한 bi-free Lévy-Hinłcin 표현을 도출한다.
• 압축된 대수 (pAp, ϕpAp)를 사용하여 원래 쌍 (a,b)의 누산량과 (pta)p, (ptb)p의 누산량을 연결한다.
• 항등식 κpAp_m+n = t·κm+n(a,...,a,b,...,b)를 사용하여 누산량이 t에 대해 선형으로 스케일링됨을 보이며 반군 행동을 입증한다.
• 모멘트-누산량 공식과 양성 조건을 적용하여 각 t ≥ 1에 대해 표현 측도 µt의 존재성을 증명한다.
• 모멘트와 누산량이 t에 대해 연속임을 이용하여 t ↦ µt의 약한* 연속성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 덧셈 bi-free 병합 하에서 컴팩트한 지오메트릭 확률 측도에 대해 bi-free Lévy-Hinłcin 공식의 유사체는 무엇인가?
• RQ2 bi-free 무한히 나누어지는 분포는 어떻게 bi-free R-변환과 누산량 수열을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 컴팩트한 지오메트릭 측도에 대해 덧셈 bi-free 병합 반군이 존재하는가? 그리고 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ4 bi-free Lévy 과정은 이러한 측도로부터 정의되고 구성될 수 있으며, 그 반군 성질은 무엇인가?

주요 결과

• bi-free Lévy-Hinłcin 공식이 도출되어 R² 위의 bi-free 무한히 나누어지는 분포에 대한 완전한 적분 표현을 제공한다.
• bi-free 병합 반군 µt의 누산량은 모든 t ≥ 1에 대해 κµt_m,n = t·κµ_m,n 를 만족하여 선형 스케일링이 보장된다.
• 덧셈 bi-free 병합 반군 (µt)t≥1의 존재성이 증명되었으며, µs ⊞⊞ µt = µs+t 이고 µ1 = µ 임을 보였다.
• 사상 t ↦ µt 는 약한* 연속성을 지녀 반군이 측도의 위상에서 잘 정의된다는 것을 보장한다.
• bi-free 가우시안 및 복합 포아송 분포와 같은 명시적 예가 ⊞⊞-무한히 나누어지는 것으로 밝혀졌다.
• 시간에 따라 변화하는 비균일한 과정으로서 bi-free Lévy 과정이 구성되었으며, 그 유한차원 분포는 반군 (µt)t≥1 를 이룬다.