[논문 리뷰] An analogue of the plactic monoid for binary search trees

Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli외 1명|ArXiv.org|2002. 06. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 청소년 표준형에 대한 고전적 플라틱 모노이드와 유사하게 레이블이 부여된 이진 탐색 트리 위에 플라틱 유사 모노이드 구조를 도입한다. 이진 탐색 트리 삽입을 통해 로빈슨-셰너스트 유사 대응을 정의함으로써, 저자들은 평면 이진 트리의 루도-론코 대수의 새로운 실현을 확립한다. 이는 트리의 시르베르트 동치류가 고정된 트리 형상과 관련된 순열 집합과 대응됨을 보여주며, 주요 지수를 통한 트리 수의 q-해석을 유도한다.

ABSTRACT

We introduce a monoid structure on a certain set of labelled binary trees, by a process similar to the construction of the plactic monoid. This leads to a new interpretation of the algebra of planar binary trees of Loday-Ronco.

연구 동기 및 목표

• 청소년 표준형에 대한 플라틱 모노이드 구성 방식을 이진 탐색 트리로 확장한다.
• 비가환 다항식을 사용하여 평면 이진 트리의 루도-론코 대수의 새로운 대수적 실현을 제공한다.
• 순열과 이진 탐색 트리 사이에 로빈슨-셰너스트 대응과 유사한 조합적 대응을 확립한다.
• 시르베르트 동치류에 속한 순열의 주요 지수를 통한 이진 탐색 트리 수의 q-해석을 도출한다.
• 루도-론코 대수의 쌍대를 자유로운 쿼asi대칭 함수 대수의 몫으로 특성화한다.

제안 방법

• 표준 삽입을 통해 동일한 이진 탐색 트리를 생성하는 순열들을 식별함으로써, 순열 위에 시르베르트 동치 관계를 정의한다.
• 단어의 순열의 역 표준화를 통해 단어에서 이진 탐색 트리로의 사상 구축을 통해 트리의 형상과 내용을 형성한다.
• 삽입 결과로 트리 $T$ 가 생성되는 모든 단어의 합으로 다항식 기저 $\mathbf{P}_T$ 를 정의하여, 루도-론코 대수의 곱셈 기저를 형성한다.
• 로빈슨-셰너스트 유사 삽입 알고리즘을 사용하여 단어 $w$ 로부터 트리 $\mathcal{P}(w)$ 를 계산한다. 삽입은 루트와 비교하여 왼쪽 또는 오른쪽 서브트리로 재귀적으로 배치된다.
• 자기 자신과의 쌍대성 관계를 $\pi: \mathbb{C}\langle A\rangle \to \mathbb{C}[\mathrm{Sylv}(A)]$ 의 사영을 통해 확립하며, 쌍대 기저 $\mathbf{Q}_T = \pi(\mathbf{G}_{w_T})$ 를 식별한다.
• 모든 고정된 트리 형상 $T$ 를 가진 순열 $σ$ 에 대해 $q^{\mathrm{maj}(\sigma)}$ 를 합산함으로써 트리 수의 q-해석을 도출한다. 이는 $\sum_{\mathcal{P}(\sigma)=T} q^{\mathrm{maj}(\sigma)} = \frac{[n]_q!}{\prod_{\circ \in T} q^{\delta_\circ} [h_\circ]_q}$ 를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 청소년 표준형에 대한 고전적 플라틱 모노이드와 유사하게, 이진 탐색 트리에 대해 플라틱 모노이드 유사 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ2 순열 위의 시르베르트 동치 관계는 이진 탐색 트리의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 주어진 형상의 이진 탐색 트리 수에 대한 q-해석은, 해당 순열의 주요 지수에 의해 가중된 형태로 어떻게 표현되는가?
• RQ4 자유로운 쿼아지대칭 함수 대수 내에서 루도-론코 대수의 평면 이진 트리 실현은 어떻게 이루어지는가?
• RQ5 루도-론코 대수의 쌍대의 구조는 무엇이며, 시르베르트 몫과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 이진 탐색 트리 $T$ 의 시르베르트 동치류는 정확히 $\mathcal{P}(\sigma) = T$ 를 만족하는 순열 $σ$ 의 집합과 일치하며, 이 동치류는 순열의 약한 순서에서의 구간을 이룬다.
• 주어진 트리 형상 $T$ 를 가진 순열의 수는 공식 $\frac{n!}{\prod_{\circ \in T} h_\circ}$ 로 주어지며, 여기서 $h_\circ$ 는 정점 $\circ$ 에서 루트를 가진 서브트리의 크기이다.
• 이 순열 수의 q-해석은 $\sum_{\mathcal{P}(\sigma)=T} q^{\mathrm{maj}(\sigma)} = \frac{[n]_q!}{\prod_{\circ \in T} q^{\delta_\circ} [h_\circ]_q}$ 로 주어지며, 여기서 $\delta_\circ$ 는 정점 $\circ$ 의 오른쪽 서브트리의 크기이다.
• 루도-론코 대수 $\mathbf{PBT}^*$ 의 쌍대는 $\mathbb{C}[\mathrm{Sylv}(A)]$ 의 몫 대수와 동형이며, 쌍대 기저 $\mathbf{Q}_T = \pi(\mathbf{G}_{w_T})$ 를 가진다.
• 루도-론코 대수 $\mathbf{PBT}$ 에서의 곱 $\mathbf{P}_{T'} \mathbf{P}_{T''}$ 는 시르베르트 규칙으로 기술된다: $\mathbf{P}_{T'} \mathbf{P}_{T''} = \sum_{T \in \mathrm{Sh}(T',T'')} \mathbf{P}_T$, 여기서 $\mathrm{Sh}(T',T'')$ 는 시르베르트 삽입 규칙을 통해 병합하여 얻어진 트리의 집합이다.
• 요소 $\mathbf{P}_T$ 는 루도-론코 대수의 곱셈 기저를 형성하며, 이에 대응하는 쌍대 기저 $\mathbf{Q}_T$ 는 쌍대 대수의 기저를 제공한다. 이 두 기저 사이에는 카우치 유사 항등식이 존재한다.