[논문 리뷰] An analogue of the Rademacher function for generalized Dedekind sums in higher dimension

Hi-joon Chae, Byungheup Jun외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n$ 차원에서 일반화된 디데킨드 합에 대한 라데마처 함수의 고차원 해석을 제시하며, 토드 급수와 반복 잔여치를 사용하여 정수성을 보장하는 일반화된 라데마처 함수를 정의한다. 이 함수는 일반화된 디데킨드 합의 분수 부분이 등분포함을 보이며, 이는 관련 지수 합에 대한 비자명한 추정치를 통해 증명된다. 이는 고전적인 디데킨드 합 결과를 고차원으로 확장하며, 베르누이 수를 통한 분모의 명시적 통제를 제공한다.

ABSTRACT

We consider generalized Dedekind sums in dimension $n$, for fixed $n$-tuple of natural numbers, defined as sum of products of values of periodic Bernoulli functions. This includes the higher dimensional Dedekind sums of Zagier and Apostol-Carlitz' generalized Dedekind sums as well as the original Dedekind sums. These are realized as coefficients of Todd series of lattice cones and satisfy reciprocity law from the cocycle property of Todd series. Using iterated residue formula, we compute the coefficient of the decomposition of of the Todd series corresponding to a nonsingular decomposition of the lattice cone defining the Dedekind sums. We associate a Laurent polynomial which is added to generalized Dedekind sums of fixed index to make their denominators bounded. We give explicitly the denominator in terms of Bernoulli numbers. This generalizes the role played by the rational function given by the difference of the Rademacher function and the classical Dedekind sums. We associate an exponential sum to the generalized Dedekind sums using the integrality of the generalized Rademacher function. We show that this exponential sum has a nontrivial bound that is sufficient to fulfill Weyl's equidistribution criterion and thus the fractional part of the generalized Dedekind sums are equidistributed. As an example, for a 3 dimensional case and Zagier's higher dimensional generalization of Dedekind sums, we compute the Laurent polynomials associated.

연구 동기 및 목표

• 라운드 급수와 격자 원뿔 분해를 사용하여 고전적인 라데마처 함수를 고차원 디데킨드 합으로 일반화하는 것.
• 일반화된 디데킨드 합의 분모를 균일하게 유계화하기 위해 분모가 무한히 커지는 데 대한 보정 항을 연결하는 라운드 다항식을 정의하는 것.
• 일반화된 라데마처 함수의 정수성을 이용해 유도된 지수 합에 대한 비자명한 추정치를 통해 일반화된 디데킨드 합의 분수 부분이 모듈로 1로 등분포함을 증명하는 것.
• 특수한 경우, 예를 들어 3차원 디데킨드 합과 자지에르의 고차원 일반화에서 명시적인 라운드 다항식을 계산하는 것.
• 전체 실수 체의 부분 제타 함수의 비양의 정수에서의 값들을 일반화된 디데킨드 합과 그 산술적 성질을 통해 이해할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 격자 원뿔의 토드 급수를 사용하여 일반화된 디데킨드 합을 계수로 표현하며, 토드 급수의 코ycle 성질을 활용해 상호법칙을 유도한다.
• 비특이 격자 원뿔 분해에 대해 반복 잔여치 공식을 적용하여 토드 급수 계수를 분해함으로써 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 일반화된 디데킨드 합에 더해지는 라운드 다항식으로서의 일반화된 라데마처 함수를 정의하며, 이는 분모의 유계성을 보장하고 분모를 베르누이 수로 명시적으로 표현한다.
• 일반화된 라데마처 함수의 정수성을 바탕으로 지수 합을 구성하고, 와일의 등분포 기준을 충족시키기 위한 비자명한 추정치를 도출한다.
• 형식적 멱급수환에서의 파르신 점과 반복 상수항(잔여치)을 사용하여 일반화된 라데마처 함수를 정의하며, 변수의 순서에 따라 다른 행동을 보인다.
• 반복 상수항 연산자 $\operatorname{iCT}_{\mathfrak{A}}$를 연속적인 잔여지도를 통해 정의하여 유리 함수의 계수를 추출하며, 분모에 대한 특정 대수적 조건을 만족할 경우 $\mathfrak{A}$-합리성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 라데마처 함수는 $n$ 차원에서 일반화된 디데킨드 합으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 디데킨드 합의 분모의 구조는 무엇이며, 보정 항을 통해 균일하게 유계화될 수 있는가?
• RQ3 일반화된 디데킨드 합의 분수 부분은 모듈로 1로 등분포하는가? 이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 격자 원뿔의 토드 급수는 어떻게 사용되어 일반화된 디데킨드 합과 그 상호법칙을 계산하는가?
• RQ5 특정 경우, 예를 들어 3차원 또는 자지에르 유형의 합에서 일반화된 디데킨드 합의 보정을 위한 명시적인 라운드 다항식은 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 라데마처 함수는 고정된 인덱스를 가진 일반화된 디데킨드 합에 더해질 라운드 다항식으로서 정의되며, 이는 분모가 베르누이 수로 명시적으로 표현되며, 항상 유계임을 보장한다.
• 일반화된 디데킨드 합의 분수 부분은 Weyl의 등분포 기준을 충족시키는 비자명한 지수 합 추정치를 도출함으로써 모듈로 1로 등분포함을 증명한다.
• 3차원의 경우와 자지에르의 고차원 일반화에서는 일반화된 라데마처 함수와 관련된 라운드 다항식을 명시적으로 계산한다.
• 반복 잔여치 공식을 통해 비특이 격자 원뿔 분해에 대응하는 토드 급수 계수를 분해할 수 있으며, 이는 일반화된 디데킨드 합의 정밀한 계산을 가능하게 한다.
• 일반화된 라데마처 함수는 정수이며, 이 정수성은 지수 합을 구성하고 비자명한 추정치를 도출하는 데 사용되며, 등분포를 증명하는 데 핵심적이다.
• 파르신 점을 통한 반복 상수항 방법은 다변수 유리 함수의 계수를 체계적으로 정의하고 계산할 수 있는 방법을 제공하며, 순서에 따라 달라지는 결과는 격자 원뿔의 기하학적 성질을 반영한다.