[논문 리뷰] An Analysis of Tennenbaum’s Theorem in Constructive Type Theory

Hermes, Marc, Kirst, Dominik|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 쿠르트의 논제—자연수 위의 모든 함수가 계산 가능하다는 주장—가 쿠비컬 유형 이론의 표준 쿠비컬 어셈블리 모델에서 실패하지만, 쿠비컬 어셈블리 내부에 반사적 부분유니버스를 구성함으로써 유니발런트 유형 이론과 일관됨을 보여준다. 핵심 기여는 불가산적 구조수학의 핵심 원리와 유니발런스를 조화시키는 새로운 모델을 제안한 데 있다.

ABSTRACT

Tennenbaum’s theorem states that the only countable model of Peano arithmetic (PA) with computable arithmetical operations is the standard model of natural numbers. In this paper, we use constructive type theory as a framework to revisit and generalize this result. The chosen framework allows for a synthetic approach to computability theory, by exploiting the fact that, externally, all functions definable in constructive type theory can be shown computable. We internalize this fact by assuming a version of Church’s thesis expressing that any function on natural numbers is representable by a formula in PA. This assumption allows for a conveniently abstract setup to carry out rigorous computability arguments and feasible mechanization. Concretely, we constructivize several classical proofs and present one inherently constructive rendering of Tennenbaum’s theorem, all following arguments from the literature. Concerning the classical proofs in particular, the constructive setting allows us to highlight differences in their assumptions and conclusions which are not visible classically. All versions are accompanied by a unified mechanization in the Coq proof assistant.

연구 동기 및 목표

• .
• 유형 이론에서 Church의 논제와 유니발런스 간의 갈등을 해결하기 위해.
• 표준 쿠비컬 어셈블리 모델에서 실패함에도 불구하고 Church의 논제가 성립하는 유니발런트 유형 이론의 모델을 구성하기 위해.
• 반사적 부분유니버스와 쿠비컬 어셈블리의 적용 범위를 구조수학의 기본 원리로 확장하기 위해.
• 특히 마르코프의 원리와 브라우어의 연속성 원리와 같은 공리들에 대해 동치 결과를 제공하는 데 새로운 모델을 제시하기 위해.

제안 방법

• .
• 저자들은 확장형 유형 이론과 문장적 절단을 지원하는 기반으로 쿠비컬 어셈블리 모델을 사용한다.
• Rijke, Shulman, 그리고 Spitters의 Σ-닫힘 반사적 부분유니버스 이론을 적용하여 쿠비컬 어셈블리 내부에 반사적 부분유니버스를 구성한다.
• 적절한 반사 메커니즘을 통해 모든 함수 N→N가 계산 가능하도록 하여 부분유니버스 내부에서 Church의 논제가 성립하도록 보장한다.
• 공백 유형 ⊥이 전역 섹션을 가지지 않음을 보여줌으로써 모델의 일관성을 검증한다.
• 상수 프레시프의 잘 지지됨과 함의성 특성을 활용하여 마르코프의 원리와 브라우어의 연속성 원리와 같은 성질을 어셈블리에서 모델으로 이행한다.
• 핵심 공리들—유니발런스, 문장적 절단, Church의 논제, 마르코프의 원리—가 모두 구성된 환경에서 일관되게 공존함을 보여줌으로써 모델을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 .
• RQ2 표준 쿠비컬 어셈블리 모델에서 실패함에도 불구하고, Church의 논제를 유니발런트 유형 이론에 일관되게 추가할 수 있는가?
• RQ3 쿠비컬 어셈블리 내부에서 Church의 논제가 성립하도록 반사적 부분유니버스를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 특히 공백 유형의 원소가 존재하지 않는다는 점에서, 해당 모델은 논리적으로 일관한가?
• RQ5 마르코프의 원리와 브라우어의 연속성 원리와 같은 추가적인 구조수학 원리들이 이 모델에서 동시에 검증될 수 있는가?
• RQ6 반사적 부분유니버스는 어떻게 하여 유니발런스와 불가산적 구조수학의 원리 간의 조화를 이룰 수 있는가?

주요 결과

• .
• 표준 쿠비컬 유형 이론의 쿠비컬 어셈블리 해석에서는 Church의 논제가 거짓이지만, 모델의 내부 논리에서는 참이다.
• Church의 논제가 성립하는 쿠비컬 어셈블리의 반사적 부분유니버스가 구성되었으며, 이는 유니발런트 유형 이론과의 일관성을 보여준다.
• 모델는 유니발런스, 문장적 절단, Church의 논제, 마르코프의 원리를 동시에 만족하며, ⊥은 전역 섹션을 갖지 않는다.
• 브라우어의 연속성 원리 또한 모델에서 검증되었으며, 이는 유니발런트 유형 이론과의 일관성을 위한 새로운 증명을 제공한다.
• 구성은 반사적 부분유니버스와 잘 지지됨을 기반으로 어셈블리에서 쿠비컬 설정으로 성질를 이행하는 데 의존한다.
• 이 접근법은 호모토피 유형 이론에서의 일관성 결과를 위한 새로운 프레임워크를 제공하며, 고차형 인도형 타입과 확장된 Church의 논제로의 확장 가능성도 있다.