[논문 리뷰] An Analysis of the Effect of Ghost Force Oscillation on Quasicontinuum Error

Matthew Dobson, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 26.

Microstructure and mechanical properties참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 원자역학-연속체 결합을 위한 준연속체(QC) 방법에서 유령력 진동의 영향을 분석한다. 비선형 상호작용 잠재에너지의 일반적인 볼록성 조건 하에, 유령력이 이완 오차에서 거의 상쇄됨을 증명하여 ℓ∞ 및 w1,1 노름에서 최적의 O(h) 수렴을 보이며, 이는 원자역학 영역에서 유격률 오차가 O(h|log h|) 거리 내에서 지수적으로 감소하여 O(h)로 수렴하고, 연속체 영역에서는 O(h)로 수렴함을 의미한다.

ABSTRACT

The atomistic to continuum interface for quasicontinuum energies exhibits nonzero forces under uniform strain that have been called ghost forces. In this paper, we prove for a linearization of a one-dimensional quasicontinuum energy around a uniform strain that the effect of the ghost forces on the displacement nearly cancels and has a small effect on the error away from the interface. We give optimal order error estimates that show that the quasicontinuum displacement converges to the atomistic displacement at the optimal rate O($h$) in the discrete $\ell^\infty$ norm and O($h^{1/p}$) in the $w^{1,p}$ norm for $1 \leq p < \infty.$ where $h$ is the interatomic spacing. We also give a proof that the error in the displacement gradient decays away from the interface to O($h$) at distance O($h|\log h|$) in the atomistic region and distance O($h$) in the continuum region. E, Ming, and Yang previously gave a counterexample to convergence in the $w^{1,\infty}$ norm for a harmonic interatomic potential. Our work gives an explicit and simplified form for the decay of the effect of the atomistic to continuum coupling error in terms of a general underlying interatomic potential and gives the estimates described above in the discrete $\ell^\infty$ and $w^{1,p}$ norms.

연구 동기 및 목표

• 균일한 변형 하에서 비물리적 인터페이스 힘인 유령력이 원자역학-연속체 결합에서 QC 오차에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 두 번째 이웃 상호작용이 볼록한 일반적인 원자간 잠재에너지 조건 하에서 QC 이동 및 이동률의 최적 오차 추정을 수립하기 위해.
• 유령력의 영향이 거의 상쇄되어 비록 인터페이스에서 비물리적인 힘이 존재하더라도 부피 내 오차가 작다는 것을 보여주기 위해.
• 이동률 오차의 명시적 감쇠 추정을 제공하여 인터페이스 영역 크기를 정량화하기 위해.

제안 방법

• 균일한 변형 주위에서 일차원 원자역학 에너지와 그 준연속체 근사의 선형화를 통해 세 시스템을 도출한다: 원자역학, 연속체, 그리고 유령력 항 g를 포함한 준연속체.
• 오차 방정식 Lqc,h uqc − g = f 를 유도하며, 여기서 g 는 인터페이스에 국한된 유령력 기여를 나타낸다.
• 행렬 분석과 점근 전개를 사용하여 오차 시스템을 해결하고, 해 성분 m, ũK+1, 및 β 가 모두 O(h) 임을 보여준다.
• 이산 ℓp 및 w1,p 노름을 적용하여 이동 및 이동률 오차를 유계로 제한하며, 행렬 역행렬의 균일 유계성을 활용한다.
• 원자역학 영역에서 도함수 오차의 지수적 감쇠를 보이기 위해 λ-j 항을 유계로 제한하며, 여기서 λ > 1 은 감쇠율이다.
• 연속체 영역에서 메esh 굵기 조절의 영향을 고려하여, 해의 선형성 덕분에 오차 범위에 영향을 주지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 원자간 잠재에너지에 대해 유령력 진동이 준연속체 근사의 총 오차에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 이산 노름에서 QC 이동이 원자역학 이동으로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ3 이동률 오차는 원자역학-연속체 인터페이스에서 얼마나 멀어질수록 감쇠되는가?
• RQ4 인터페이스 영역 크기를 h 로 정량화할 수 있으며, 이는 오차 크기에 영향을 미치는가?
• RQ5 인터페이스를 초월해 이동률 오차가 O(h)로 균일 유계인지 여부와 함께, 그 감쇠 속도는 얼마나 되는가?

주요 결과

• 준연속체 이동 오차는 ℓ∞ 노름에서 Ch 이하로 유계이며, 이는 최적의 O(h) 수렴을 의미한다.
• 이동률 오차는 1 ≤ p ≤ ∞ 인 w1,p 노름에서 Ch^{1/p} 이하로 유계이며, 이는 최적의 수렴 속도를 확인한다.
• 원자역학 영역에서 이동률 오차는 지수적으로 감쇠되며, 인터페이스에서 O(h|log h|) 거리 이내에서 O(h)로 수렴한다.
• 연속체 영역에서는 모든 j ≥ K+2 에 대해 이동률 오차가 O(h) 이며, 이는 인터페이스를 초월해 즉각적으로 감쇠됨을 의미한다.
• 오차 시스템을 푸는 데 사용된 행렬 역행렬은 균일 유계이며, 이는 K 및 h 와 무관한 안정성과 수렴성을 보장한다.
• 연속체 영역이 굵어져도 결과는 그대로 유지되며, 인터페이스 근처의 자유도가 제거되지 않는 한 오차 경계에 영향을 주지 않는다.