[논문 리뷰] An analysis of the input-to-state-stabilisation of linear hyperbolic systems of balance laws with boundary disturbances

Gediyon Weldegiyorgis, Mapundi K. Banda|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 03.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 초월 평형 법칙에 대한 경계 외란이 존재하는 경우, $L^2$-노름 ISS 라플라스 함수를 사용하여 이산화된 입력-상태 안정성(ISS) 분석을 제안한다. 연속적인 ISS 라플라스 함수를 유한체적 업윈 스킴과 시간 분할을 통해 이산화함으로써, 저자들은 이산 시스템이 여전히 ISS를 유지할 조건을 확립하였으며, 세인트-베나탕(Saint-Venant) 및 비등온 유동(Euler) 방정식에 대한 수치 실험을 통해 라플라스 함수의 점진적 감쇠를 입증하였다.

ABSTRACT

In this paper, a linear hyperbolic system of balance laws with boundary disturbances in one dimension is considered. An explicit candidate Input-to-State Stability (ISS)-Lyapunov function in $ L^2- $norm is considered and discretised to investigate conditions for ISS of the discrete system as well. Finally, experimental results on test examples including the Saint-Venant equations with boundary disturbances are presented. The numerical results demonstrate the expected theoretical decay of the Lyapunov function.

연구 동기 및 목표

• 경계 외란이 존재하는 선형 초월 평형 법칙계의 입력-상태 안정성(ISS)을 분석하기 위해.
• 반연속화된 시스템에서 안정성의 수치적 검증을 위한 이산 ISS-라플라스 함수를 개발하기 위해.
• 세인트-베나탕 및 비등온 유동 방정식과 같은 물리적 모델에 대해 이론적 ISS 조건을 수치 시뮬레이션을 통해 검증하기 위해.
• 수치 이산화, 특히 수치적 점성과 같은 요소가 ISS 성질에 미치는 영향을 조사하기 위해.

제안 방법

• 변수 계수를 가진 선형 초월 평형 법칙계에 대해 연속적인 $L^2$-노름 ISS-라플라스 함수를 구성한다.
• 공간 근사에 대해 유한체적 방법과 업윈 스킴을 사용하여 라플라스 함수를 이산화한다.
• 초월 동역학과 경계 피드백을 분리하기 위해 시간 분할 방법을 사용하여 시간 적분을 수행한다.
• 주어진 경계 피드백 및 외란 구조 하에서 이산 라플라스 함수가 시간이 지남에 따라 감쇠되도록 하여 안정성 조건을 유도한다.
• 이산 ISS를 위한 이론적 조건은 다양한 경계 외란 프로파일 하에서 이산 라플라스 함수의 감쇠를 시뮬레이션하여 수치적으로 확인한다.
• 이 방법은 두 가지 테스트 케이스에 적용되었으며, 세인트-베나탕 방정식과 특정 초깃값 및 경계 조건을 가진 비등온 유동 방정식을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 외란이 존재하는 선형 초월 평형 법칙계에서 이산 $L^2$-노름 라플라스 함수는 어떤 조건에서 감쇠되는가?
• RQ2 ISS-라플라스 함수의 이산화가 연속 시스템의 입력-상태 안정성 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ3 수치적 아티팩트, 예를 들어 수치적 점성이 이산 라플라스 함수의 감쇠 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 행렬 $M_j$가 양의 준정의가 아닐 경우 비등온 유동 방정식에 대해 ISS 성질이 유지되는가?
• RQ5 수치적 시뮬레이션은 경계 외란 하에서 라플라스 함수의 이론적 감쇠 행동과 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• 수치 실험 결과, 경계 외란 하에서 세인트-베나탕 방정식에 대해 이산 $L^2$-노름 라플라스 함수가 시간이 지남에 따라 점차 감쇠됨을 확인하여 이산 ISS를 확인하였다.
• 세인트-베나탕 방정식의 경우 $\mu > 0$의 여러 값에서 라플라스 함수 감쇠가 관측되었으며, 곡선이 0으로 수렴함으로써 안정성이 강건함을 나타내었다.
• 비등온 유동 방정식의 경우 $\gamma_{22}(x) < 0$로 인해 행렬 $M_j$가 양의 준정의가 될 수 없어 ISS 조건가 실패하였으며, 이로 인해 ISS 결과는 성립하지 않았다.
• 감쇠가 $T=10$, $J=1600$, 그리고 CFL=0.75 조건 하에서 시뮬레이션을 통해 명시적으로 관측되었으며, 이는 이론적 감쇠 속도를 검증하였다.
• 수치 결과는 분석적으로 유도된 이론적 ISS 조건이 이산 라플라스 함수 프레임워크를 통해 계산적으로 검증 가능하다는 것을 확인하였다.
• 본 연구는 수치적 아티팩트, 특히 수치적 점성이 이산 안정성 결과의 수렴 속도에 영향을 줄 수 있음을 강조하며, 이를 신중히 분석할 필요성을 제기한다.