[논문 리뷰] An analytic BPHZ theorem for regularity structures

Ajay Chandra, Martin Hairer|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 103

한 줄 요약

본 논문은 정규성 구조 내의 비선형 SPDE에서 재정규화된 모델의 확률적 수렴성에 대한 일반적이고 자동화된 프레임워크를 증명하며, 블랙박스 방식으로 추정치를 산출하고 비가우시안 구동을 허용한다.

ABSTRACT

We prove a general theorem on the stochastic convergence of appropriately renormalized models arising from nonlinear stochastic PDEs. The theory of regularity structures gives a fairly automated framework for studying these problems but previous works had to expend significant effort to obtain these stochastic estimates in an ad-hoc manner. In contrast, the main result of this article operates as a black box which automatically produces these estimates for nearly all of the equations that fit within the scope of the theory of regularity structures. Our approach leverages multi-scale analysis strongly reminiscent to that used in constructive field theory, but with several significant twists. These come in particular from the presence of "positive renormalizations" caused by the recentering procedure proper to the theory of regularity structure, from the difference in the action of the group of possible renormalization operations, as well as from the fact that we allow for non-Gaussian driving fields. One rather surprising fact is that although the "canonical lift" is of course typically not continuous on any Hölder-type space containing the noise (which is why renormalization is required in the first place), we show that the "BPHZ lift" where the renormalization constants are computed using the formula given in arXiv:1610.08468, is continuous in law when restricted to a class of stationary random fields with sufficiently many moments.

연구 동기 및 목표

• 정규성 구조 프레임워크 내에서 일반적인 확률적 수렴 정리의 필요성을 제시한다.
• 광범위한 비선형 SPDE 클래스에 대해 자동으로 확률적 추정치를 산출하는 블랙박스 접근법을 제공한다.
• 정규성 구조에서 재중심화로부터 발생하는 양의 재정규화를 다루고 다중척도 분석을 포함한다.
• 비가우시안 구동장과 재정규화 그룹 작용의 차이를 다룬다.
• 정해진 조건하에서 canonical lift가 특정 Hölder 공간에서 연속이 아니며, BPHZ lift는 법칙상 연속임을 보인다.

제안 방법

• 구성적 장 이론을 연상시키는 다중 척도 해석적 프레임워크를 개발한다.
• 정규성 구조에서 재중심화로부터의 양의 재정규화를 포함한다.
• 지정된 공식 [BHZalg]으로 계산된 BPHZ 재정규화 상수들을 활용한다.
• 재정규화 체계 내에서 비가우시안 구동장을 다룬다.
• 충분한 모멘트를 가진 정상적(Random) 랜덤 필드에 대한 BPHZ 승강의 분포상 연속을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규성 구조 내에서 비선형 SPDE의 재정규화된 모델들에 대해 일반적이고 자동화된 정리가 확률적 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ2 재중심화로 인한 양의 재정규화와 비가우시안 구동장이 재정규화 절차 및 한계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 광범위한 클래스의 정상적 랜덤 필드에 대해 BPHZ 승강은 법칙상 연속인가?
• RQ4 연속성 및 재정규화 필요성 측면에서 canonical lift 와 BPHZ lift 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 일반 정리가 정규성 구조 내의 비선형 SPDE에서 재정규화된 모델의 확률적 수렴 결과를 제공한다.
• 충분한 모멘트를 가진 정상적 랜덤 필드에 대해 BPHZ 승강은 법칙상 연속을 보이나, 특정 Hölder 공간에서 canonical lift의 연속성은 그렇지 않다.
• 이 프레임워크는 비가우시안 구동장과 재중심화로부터 생기는 양의 재정규화를 수용한다.
• 재정규화 상수는 지정된 공식을 통해 계산되며, 대체로 자동화된 분석을 가능하게 한다.
• 이 방법은 정규성 구조에 필요한 중요한 적응과 함께 구성적 장 이론에 비견되는 다중 척도 분석을 사용한다.