[논문 리뷰] An analytic index for Lie groupoids

Paulo Carrillo Rouse|ArXiv.org|2006. 12. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리 군oids에 대한 새로운 해석적 인덱스 준동형사상 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$를 도입한다. 이 준동형사상은 코탄젠트 번들의 $K$-이론에서, 군oids 위의 컴팩트 지지 $C^k$-함수로부터 구성된 보완된 $K$-이론 군 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$로 사상한다. 이 준동형사상은 탄젠트 군oids를 통한 변형을 통해 정의되며, 순환 코호몰로지와의 명시적 페어링을 가능하게 하여 표준 $C^*$-해석적 인덱스가 숫자 불변량을 추출하는 데에 겪는 한계를 극복한다.

ABSTRACT

For a Lie groupoid there is an analytic index morphism which takes values in the $K-$theory of the $C^*$-algebra associated to the groupoid. This is a good invariant but extracting numerical invariants from it, with the existent tools, is very difficult. In this work, we define another analytic index morphism associated to a Lie groupoid; this one takes values in a group that allows us to do pairings with cyclic cocycles. This last group is related to the compactly supported functions on the groupoid. We use the tangent groupoid to define our index as a sort of ''deformation''.

연구 동기 및 목표

• 리 군oids 인덱스 이론에서 표준 $C^*$-해석적 인덱스로부터 숫자 불변량을 추출하는 데 어려움을 해결하기 위해.
• 호모토피 불변성을 유지하면서도 순환 코호몰로지와의 페어링이 가능한 중간 $K$-이론 군 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$를 구성하기 위해.
• 잘 정의되고 군 값을 가지며 고전적 인덱스 이론 프레임워크와 호환되는 새로운 해석적 인덱스 준동형사상 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$를 정의하기 위해.
• $C^\infty_c$-인덱스(순환 코호몰로지와의 페어링을 허용함)와 $C^*$-인덱스(호모토피 불변성 보장) 사이의 격차를 $C^k$-기반 호모토피 몫을 도입하여 메우기 위해.

제안 방법

• 구간 $[0,1]$의 끝점에서의 평가에 의해 유도되는 호모토피 동치 관계에 의해 $K_0(C_c^k(\mathscr{G}))$를 몫으로 취하여 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$를 정의한다.
• 콘스의 탄젠트 군oids $\mathscr{G}^T$를 사용하여 군oids 대수의 변형을 구성함으로써, 기호 클래스에서 인덱스로의 연속 경로를 가능하게 한다.
• 이deal $J = t \cdot \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$의 $k+q$제곱에서 군oids의 곱 위의 $C_c^k$-함수로 가는 준동형사상 $\varphi_k: J^{k+q} \to C_c^k(\mathscr{G} \times [0,1])$를 구성하며, 이는 $K$-이론의 구조를 유지한다.
• 기본값이 0인 $t=0$에서 평가되는 $e_0$에 대해 영이 되는 $K_0(\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T))$의 원소들이 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$에서 호모토피적으로 자명한 원소로 매핑됨을 증명함으로써, $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$의 잘 정의성을 확보한다.
• 기호 클래스, $C^\infty_c$-인덱스, $C^*$-해석적 인덱스, 그리고 새로운 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$를 연결하는 교환 다이어그램을 확립하여 기존 인덱스 이론과의 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군oids에 대해 호모토피 불변성을 유지하면서도 순환 코호몰로지와의 명시적 페어링이 가능한 보완된 해석적 인덱스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $K_0(C_c^\infty(\mathscr{G}))$와 $K_0(C_r^*(\mathscr{G}))$ 사이의 중간 $K$-이론 군을 어떻게 정의할 수 있을까? 이는 호모토피 불변성과 계산 가능성 모두를 유지해야 한다.
• RQ3 탄젠트 군oids는 $C^\infty_c$-에서 $C^*$-로의 포함이 비단사적이기 때문에 발생하는 문제를 피하기 위해 변형 기반 해석적 인덱스를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 탄젠트 군oids에서 $t=1$에서의 평가를 통해 구성된 새로운 인덱스 준동형사상 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$는 잘 정의되어 있으며, 고전적 해석적 인덱스와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 준동형사상 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}: K_0(A^*\mathscr{G}) \to K_0^{h,k}(\mathscr{G})$는 잘 정의되어 있으며, $C_c^k(\mathscr{G})$ 위의 호모토피 동치 관계를 존중하여 군 준동형사상임을 보장한다.
• 이 구성은 $\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$-함수의 테일러 전개 성질에 의존하며, 이는 이deal $J = t \cdot \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$가 $C^k$-준동형사상 $\varphi_k$를 통해 $J^{k+q}$와 연결됨을 가능하게 한다.
• $\varphi_k: J^{k+q} \to C_c^k(\mathscr{G} \times [0,1])$는 $t=0$에서 영이 되는 $K$-이론 준동형사상을 유도하며, 이는 $\ker(e_0)$에 속하는 원소들이 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$에서 호모토피적으로 자명한 원소로 매핑됨을 의미한다. 이는 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$의 핵심 잘 정의 조건을 만족시킨다.
• 새로운 인덱스 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$는 고전적 기호 및 해석적 인덱스 준동형사상과의 교환 다이어그램에 포함되어 있으며, 기존의 인덱스 이론과의 일관성을 확인한다.
• $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$는 순환 코호몰로지와의 페어링을 허용하여, 표준 $C^*$-해석적 인덱스로는 접근할 수 없는 숫자 불변량을 추출할 수 있다.