[논문 리뷰] An analytical condition for the violation of Mermin's inequality by any three qubit state

Satyabrata Adhikari, A. S. Majumdar|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 08.

Quantum Information and Cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태의 상관 텐서로부터 구성된 대칭 행렬의 고유값을 이용하여 삼큐비트 시스템에서 메르민 부등식의 최대 위반에 대한 해석적 공식을 유도한다. 이전의 수치적 방법과 달리, 이 접근법은 측정 설정에 대한 최적화 없이 순수 및 혼합 삼큐비트 상태에 대한 비국소성 위반을 직접 결정할 수 있으며, 주요 결과는 GHZ, W 및 혼합 상태에서 검증되었다.

ABSTRACT

Mermin's inequality is the generalization of the Bell-CHSH inequality for three qubit states. The violation of the Mermin inequality guarantees the fact that there exists quantum non-locality either between two or three qubits in a three qubit system. In the absence of an analytical result to this effect, in order to check for the violation of Mermin's inequality one has to perform a numerical optimization procedure for even three qubit pure states. Here we derive an analytical formula for the maximum value of the expectation of the Mermin operator in terms of eigenvalues of symmetric matrices, that gives the maximal violation of the Mermin inequality for all three qubit pure and mixed states.

연구 동기 및 목표

• 삼큐비트 시스템에서 메르민 부등식의 최대 위반에 대한 폐쇄형 해석적 기준을 제공하는 것.
• 비국소성 평가 시 측정 방향에 대한 수치적 최적화가 필요 없도록 하는 것.
• 초기 두 큐비트에 대해 개발된 호로데츠키 유형의 고유값 기반 접근법을 삼큐비트 시스템으로 확장하는 것.
• 순수 및 혼합 삼큐비트 상태 모두에 적용 가능한 통합 조건을 유도하는 것.
• 기존의 얽힌 상태인 GHZ, W 및 혼합 초위상 상태에서 방법을 검증하는 것.

제안 방법

• 상태의 상관 텐서 tijk와 측정 벡터 a_j, b_j를 포함하는 다중선형 형태로 메르민 연산자 ⟨BM⟩ρ의 기대값을 유도한다.
• 최대 위반을 파울리 상관 성분으로부터 구성된 대칭 행렬 T^T_x T_x, T^T_y T_y, T^T_z T_z의 최대 고유값 함수로 표현한다.
• 측정 방향에 대한 변분 최적화를 통해 이들 대칭 행렬의 고유값 최대화 문제로 문제를 환원한다.
• 메르친 연산자 기대값의 최대값이 상태의 상관 구조로부터 유도된 세 개의 대칭 행렬의 최대 고유값에 의해 결정됨을 이용한다.
• 각각의 대칭 행렬의 최대 고유값을 평가하여 순수 및 혼합 상태에 대한 최대 ⟨BM⟩ρ를 계산하는 데 유도된 공식을 적용한다.
• GHZ 및 W 상태에 대한 기존 수치 결과와의 비교를 통해 해석 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 삼큐비트 상태, 특히 혼합 상태를 포함하여 메르친 부등식의 최대 위반에 대한 해석적 조건은 무엇인가?
• RQ2 측정 설정에 대한 수치적 최적화 없이 메르친 연산자 기대값의 최대치를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 대칭 상관 행렬 T^T_i T_i의 고유값은 삼큐비트 시스템에서 비국소성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 예를 들어 W 상태 혼합물의 경우, 매개변수의 어떤 범위에서 메르친 부등식이 최대로 위반되는가?
• RQ5 해석적 공식은 기존의 잘 알려진 상태인 GHZ 및 W 상태에 대해 알려진 결과를 재현할 수 있는가?

주요 결과

• W 상태 혼합물 |Ψ⟩W,S에서, 0.43 ≤ p ≤ 0.45 동안 ⟨Bmax_M⟩ρ = 2√λ_max_x이며, 0.45 ≤ p ≤ 1 동안 ⟨Bmax_M⟩ρ = 2√λ_max_z이며, 위반은 0 ≤ p ≤ 0.25에서 발생한다.
• 혼합 상태 ϱ = p|GHZ⟩⟨GHZ| + (1−p)|W⟩⟨W|에서, 0 ≤ p ≤ 0.43 동안 ⟨Bmax_M⟩ϱ = 4(1−p)이며, 0.43 ≤ p ≤ 1 동안 ⟨Bmax_M⟩ϱ = 4√(4/9 − 8/9 p + 13/9 p²)이며, 모든 p ∈ [0,1]에서 위반이 발생한다.
• W 상태 혼합물에 대해 T^T_x T_x, T^T_y T_y, T^T_z T_z의 최대 고유값을 명시적으로 계산하였으며, λ_max_x = (1−p)(4/9 + 2/9 p + 2/9 √(12p − 3p²))이다.
• 이 방법은 W 상태 혼합물이 p ≤ 0.25에서만 메르친 부등식을 위반한다는 기존 수치 연구와 일치함을 확인한다.
• 해석적 공식은 반복 최적화 없이도 최대 위반을 직접 계산할 수 있어 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 유도된 조건는 임의의 삼큐비트 순수 및 혼합 상태에 대해 일반적으로 적용 가능하며, 비국소성 탐지에 대한 일반 기준을 제공한다.