[논문 리뷰] An application of free Lie algebras to current algebras and their representation theory

Vyjayanthi Chari, Jacob Greenstein|arXiv (Cornell University)|2005. 02. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 현재 대수를 카크-무디 리 대수와 자유 리 대수를 포함하는 반직접곱의 몫으로서 새로운 방식으로 실현하며, 텐서 대수 내의 $Γ$-불변 아이디얼을 통한 체계적인 표현 구축을 가능하게 한다. 주요 기여는 이러한 아이디얼과 현재 대수의 표현 사이의 정규적 대응 관계를 밝혀내어, 키릴로프-레셰티힌 모듈의 고전적 극한과 기본 웰 모듈을 포함한 명시적인 표현 가중치를 제공한다.

ABSTRACT

We realize the current algebra of a Kac-Moody algebra as a quotient of a semi-direct product of the Kac-Moody Lie algebra and the free Lie algebra of the Kac-Moody algebra. We use this realization to study the representations of the current alg ebra. In particular we see that every ad-invariant ideal in the symmetric algebra of the Kac-Moody algebra gives rise in a canonical way to a representation of the current algebra. These representations include certain well-known families of representations of the current algebra of a simple Lie algebra. Another family of examples, which are the classical limits of the Kirillov-Reshe tikhin modules, are also obtained explicitly by using a construction of Kostant. Finally we study extensi ons in the category of finite dimensional modules of the current algebra of a simple Lie algebra.

연구 동기 및 목표

• 자유 리 대수와 불변 아이디얼을 이용하여 현재 대수의 표현을 연구하기 위한 새로운 대수적 프레임워크를 개발하는 것.
• 리 대수의 텐서 대수 내의 $Γ$-불변 아이디얼과 그 현재 대수의 표현 사이의 정규적 대응 관계를 수립하는 것.
• 키릴로프-레셰티힌 모듈의 고전적 극한과 기본 웰 모듈을 포함한 명시적인 표현 가중치를 구축하는 것.
• 현재 대수 표현의 범주 내에서 유한차원 모듈 간의 확장을 계산하는 것.
• 소멸하는 연산자와 고유값 공간에 대한 조건을 통해 현재 대수 모듈의 완전 가역성을 특성화하는 것.

제안 방법

• 자유 리 대수 $F(χ)$ 위에서의 $χ[t]$ 현재 대수의 반직접곱 $Σ ⋂ F(χ)$ 의 몫으로서 실현한다.
• $F(χ)$ 에서 $χ[t]t$ 로의 리 대수 준동형 $τ[t]: F(χ) → χ[t]t$ 를 정의하고, 그 핵을 $Σ$ 로 하며, 이는 고도가 부여된 아이디얼로, 수반 작용에 의해 0으로 가는 원소들로 구성된다.
• $χ$ 가 $T(χ)$ 에 작용하는 방식을 이용하여 $Σ$ 를 텐서 대수 내의 $χ$-불변 아이디얼로 식별한다.
• $T(χ)$ 내의 $Σ$ 를 포함하는 $χ$-불변 아이디얼을 통해 $T(χ)/Σ$ 의 몫을 통해 $χ[t]$ 의 표현을 구축한다.
• 코스타ント의 구성 방법을 적용하여 기본 웰 모듈과 키릴로프-레셰티힌 모듈을 특수한 경우로 실현한다.
• $χ$-모듈 구조를 활용하여 기약 유한차원 모듈 간의 $Σ^1(χ[t])$-확장을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현재 대수 $χ[t]$ 는 자유 리 대수와 반직접곱을 통해 어떻게 체계적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 T(χ) 내의 $χ$-불변 아이디얼과 $χ[t]$ 의 표현 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 이 구성에서 어떤 알려진 현재 대수 표현 가중치들이 유도되는가, 특히 키릴로프-레셰티힌 모듈의 고전적 극한은 어떻게 되는가?
• RQ4 어떤 조건에서 $χ[t]$-모듈이 완전 가역적인가?
• RQ5 $V$ 가 기약 유한차원일 때 $\operatorname{Ext}^1_{χ[t]}(χ, V)$ 의 차원은 얼마인가?

주요 결과

• $χ[t]$ 는 $χ ⋂ F(χ)$ 의 반직접곱에서 $τ[t]$ 의 핵으로서 얻어지는 몫으로 동형이며, 이 핵은 $F(χ)$ 내의 고도가 부여된 아이디얼이다.
• $T(χ)$ 내의 모든 $χ$-불변 아이디얼 $Σ$ 는 $χ[t]$ 의 표현 $V(Σ)$ 를 유도한다.
• 키릴로프-레셰티힌 모듈의 고전적 극한은 $x ⊗ y - y ⊗ x$ 형태의 원소들로 생성되는 아이디얼에 대한 $T(χ)$ 의 몫으로 실현된다.
• $χ$ 가 단순할 경우, $Σ^1_{χ[t]}(χ, V) = 1$ 이며 $V cong χ(\operatorname{ad}, a\operatorname{ad})$ 이면, 그렇지 않으면 $0$ 이다.
• $χ[t]$-모듈 $V$ 는 $a_i ∈ Χ$ 가 서로 다르고, 벡터 $v_j$ 가 존재하여 $x^{-}Ø Ø (t - a_1)Ø Ø (t - a_k)v_j = 0$ 이 성립할 때 완전 가역적이다.
• $\operatorname{Ext}^1_{χ[t]}(χ, V)$ 의 차원은 $V cong χ(\operatorname{ad}, a\operatorname{ad})$ 이면 1이며, 그렇지 않으면 0이다. 이 결과는 쌍대성에 의해 임의의 기약 모듈로 확장된다.