[논문 리뷰] An approximation of the Gröbner basis of ideals of perturbed points, part I

Claudia Fassino|ArXiv.org|2007. 03. 06.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 좌표가 제한된 정밀도로만 알려진 경우, 변형된 점들에서 소멸하는 아이디얼의 그로브너 기저를 수치적으로 근사하는 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 입력 데이터를 안정화하는 사전 처리 단계와 임계값 기반의 수치적 부처버거-몰러 알고리즘을 결합하여, 기준 그로브너 기저와 동일한 구조를 가지며 주어진 항의 계수를 유지하고 오차 한계 내에서 정확한 경우에 가까운 근사값 $\overline{GB}$를 계산한다.

ABSTRACT

We develop a method for approximating the Gröbner basis of the ideal of polynomials which vanish at a finite set of points, when the coordinates of the points are known with only limited precision. The method consists of a preprocessing phase of the input points to mitigate the effects of the input data uncertainty, and of a new "numerical" version of the Buchberger-Möller algorithm to compute an approximation $\bar{GB}$ to the exact Gröbner basis. This second part is based on a threshold-dependent procedure for analyzing from a numerical point of view the membership of a perturbed vector to a perturbed subspace. With a suitable choice of the threshold, the set $\bar{GB}$ turns out to be a good approximation to a "possible" exact Gröbner basis or to a basis which is an "attractor" of the exact one. In addition, the polynomials of $\bar{GB}$ are "sufficiently near" to the polynomials of the extended basis, introduced by Stetter, but they present the advantage that $LT(\bar{GB})$ coincides with the leading terms of a "possible" exact case. The set of the preprocessed points, approximation to the unknown exact points, is a pseudozero set for the polynomials of $\bar{GB}$.

연구 동기 및 목표

• 실제 데이터에서 점 좌표의 미세한 변화에 의해 발생하는 그로브너 기저 계산의 구조적 불연속성을 해결한다.
• 정확한 좌표가 알려지지 않았고 오직 오차 추정치만 제공되는 경우에 그로브너 기저를 안정적으로 근사하는 방법을 개발한다.
• 오차 한계 내 모든 허용 가능한 입력 집합에서 일관된 구조를 유지하는 '기준 기저'를 정의한다.
• 계산된 근사값 $\overline{GB}$가 가능한 정확한 그로브너 기저의 주어진 항과 일치시켜 구조적 일관성을 유지한다.
• 반올림 오차와 변형 오차를 다룰 수 있는 수치적으로 안정된 알고리즘을 제공하여 오차 한계를 통제한다.

제안 방법

• 오차 한계 $s_0$ 내의 좌표를 그룹화하여 입력 점들을 사전 처리하고, 군집을 중앙값으로 대체하여 데이터 불확실성을 감소시킨다.
• 사전 처리된 점들로부터 '가짜제로 집합' $\overline{\cal P}$를 구성하여, 모든 사전 처리된 값이 $s_0$ 이상 떨어지도록 보장한다.
• 변형된 벡터가 변형된 부분공간에 속하는지 확인하기 위해 임계값 기반의 수치적 절차를 적용하여 정확한 그로브너 기저 계산을 모방한다.
• 부처버거-몰러 알고리즘을 수치적 환경에서 적용하며, 선형 종속성은 반올림 및 변형 오차를 다룰 수 있도록 임계값을 사용해 평가한다.
• $\overline{GB}$를 $\overline{\cal N} \cup {\cal C}[\overline{\cal N}]$의 지지 집합을 가지는 다항식의 집합으로 정의한다. 여기서 $\overline{\cal N}$은 기준 정규 집합이다.
• 좌표의 상대 오차 $\delta_R$를 사용하여 근사 오차의 상한을 제시한다: $\epsilon_t \leq Deg(t)\delta_R$ 및 $\epsilon_M \leq \sqrt{k}\,d_M\delta_R$, 여기서 $k$는 항의 수이고 $d_M$은 최대 차수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정 오차로 인해 좌표가 변형된 경우, 그로브너 기저의 안정적인 근사값을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 어떤 기준이 오차 한계 내 모든 허용 가능한 입력 집합에서 일관된 구조를 유지하는 '기준 기저'를 정의하는가?
• RQ3 변형된 데이터를 다룰 수 있으며 가능한 정확한 그로브너 기저의 주어진 항을 유지하는 부처버거-몰러 알고리즘의 수치적 버전을 설계할 수 있는가?
• RQ4 사전 처리된 점 집합 $\overline{\cal P}$가 원래의 변형된 집합 $\widehat{\cal P}$에 비해 수치적 안정성에서 얼마나 향상되는가?
• RQ5 좌표의 변형과 다항식의 차수에 따라 근사 오차에 대한 상한을 어떻게 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 사전 처리된 점 집합 $\overline{\cal P}$는 모든 값이 $s_0$ 이상 떨어져 있음을 보장하여 안정적인 수치 계산을 가능하게 한다.
• 계산된 근사값 $\overline{GB}$는 가능한 정확한 그로브너 기저의 주어진 항과 일치하여 구조적 일관성을 유지한다.
• $\overline{GB}$에 포함된 다항식들은 스테터의 확장 기저에 매우 가까운데, $LT(\overline{GB})$가 기준 사례의 주어진 항과 일치한다.
• 변형된 점들에서 항 $t$를 평가할 때의 상대 오차에 대한 상한은 $\epsilon_t \leq Deg(t)\delta_R$이며, 여기서 $\delta_R$는 좌표의 최대 상대 오차이다.
• 모멘트 행렬의 프로베니우스 노름 오차는 $\epsilon_M \leq \sqrt{k}\,d_M\delta_R$를 만족하며, 여기서 $k$는 항의 수이고 $d_M$은 최대 차수이다.
• 정확한 점들이 알려지지 않았고 데이터가 불확실한 상황에서도 $\overline{GB}$가 기준 기저에 대한 좋은 근사값임을 보장한다.