[논문 리뷰] An arbitrary-order discrete de Rham complex on polyhedral meshes: Exactness, Poincar\'e inequalities, and consistency

Daniele A. Di Pietro, Jérôme Droniou|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 13.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 54인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 정확성, 균일한 Poincaré 부등식, 그리고 호환성 있는 유한요소 유사 스킴을 위한 일관성 보장하는 다각형 메시 위의 임의의 순서 이산 de Rham 복합체를 제시한다. 벡터 미적분학 연산자와 Koszul 유형 보완을 이용한 다항식 공간 분해를 통해, 비일치성이고 완전히 이산화된 공간과 연산자를 구성하며, 이는 연속 de Rham 복합체의 위상적 및 기하학적 구조를 유지한다. 이는 자기장 문제에 대해 최적의 오차 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we present a novel arbitrary-order discrete de Rham (DDR) complex on general polyhedral meshes based on the decomposition of polynomial spaces into ranges of vector calculus operators and complements linked to the spaces in the Koszul complex. The DDR complex is fully discrete, meaning that both the spaces and discrete calculus operators are replaced by discrete counterparts, and satisfies suitable exactness properties depending on the topology of the domain. In conjunction with bespoke discrete counterparts of $L^2$-products, it can be used to design schemes for partial differential equations that benefit from the exactness of the sequence but, unlike classical (e.g., Raviart--Thomas--N\'ed\'elec) finite elements, are nonconforming. We prove a complete panel of results for the analysis of such schemes: exactness properties, uniform Poincar\'e inequalities, as well as primal and adjoint consistency. We also show how this DDR complex enables the design of a numerical scheme for a magnetostatics problem, and use the aforementioned results to prove stability and optimal error estimates for this scheme.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 다각형 메시 위에서 de Rham 복합체의 정확성을 유지하는 호환성 있고 비일치성 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• 메시 크기에 관계없이 이산 노름에 대해 균일한 Poincaré 부등식을 확보하기 위해.
• 보간에 대해 이산 벡터 미적분학 연산자의 원시형 및 수반형 일관성을 확립하기 위해.
• 자기장과 같은 PDE에 대해 안정적이고 최적 수렴성을 보장하는 스킴을 구성하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 기존의 Raviart-Thomas 및 Nédélec 원소를 통합적인 대수적 및 기하학적 분해를 통해 임의의 순서와 다각형 요소로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 벡터 미적분학 연산자(기울기, 컬, 발산)의 범위와 Koszul 복합체를 통한 수직 보완을 이용해 다항식 공간을 분해한다.
• 메시 요소(셀, 면, 모서리) 위에 다항식 모멘트에 연결된 자유도를 가진 이산 공간을 정의한다.
• 국소 재구성 및 리프팅 기법을 이용해 이산 벡터 미적분학 연산자(기울기, 컬, 발산)를 구성한다.
• 안정성과 일관성을 보장하기 위해 잠재력 재구성 및 성분별 노름을 통한 이산 L2 내적을 도입한다.
• 유계성과 공통성 성질을 증명하기 위해 국소 리프팅 연산자(예: 컬 리프팅)를 활용한다.
• 스케일링 추론과 역 불등식을 사용해 균일한 유계성과 Poincaré 유형 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 다각형 메시 위에서 이산 수준에서 정확성을 유지하는 완전히 이산화된 de Rham 복합체를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이산 연산자가 메시 크기와 무관하게 균일한 Poincaré 부등식을 만족하는가?
• RQ3 이산 연산자가 원시형 및 수반형 모두에서 연속 연산자와 일관성이 있는가?
• RQ4 이산 복합체를 사용해 자기장 문제에 대해 안정적이고 최적 수렴성을 보장하는 스킴을 설계할 수 있는가?
• RQ5 벡터 미적분학 연산자와 Koszul 보완을 통한 다항식 분해를 어떻게 활용해 임의의 순서 비일치 방법을 구축할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 이산 de Rham 복합체는 위상적 가정 하에 정확성을 확보한다: Im(𝑖Ω) = Ker(grad), Im(grad) = Ker(curl), Im(curl) = Ker(div), Im(div) = L2(Ω).
• 균일한 이산 Poincaré 부등식이 증명된다: u ∈ (grad H1(T))⊥ 이면 ‖u‖L2(T) ≲ h_T ‖grad u‖L2(T), 컬 및 발산에 대해서도 유사한 유계성이 성립한다.
• 원시형 일관성이 성립한다: 이산 기울기, 컬, 발산 연산자가 보간 연산자와 O(h^k) 항까지 교환된다.
• 수반형 일관성이 확립된다: 이산 연산자가 최적의 일관성 오차 O(h^k)를 가진 적분 by parts 항등식을 만족한다.
• 이산 L2 내적은 연속 L2 내적과 동치이며, 이는 이산 노름의 안정성과 유계성을 보장한다.
• 자기장 문제에 대해, 스킴은 최적 수렴성을 확보한다: ‖B - B_h‖L2(Ω) ≲ h^k, 여기서 k는 다항식 차수이며, 적절한 정규성 조건이 만족된다.