[논문 리뷰] An area law and sub-exponential algorithm for 1D systems

Itai Arad, Alexei Kitaev외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 07.

Quantum many-body systems참고 문헌 6인용 수 90

한 줄 요약

이 논문은 일차원(1D) 갭이 있는 양자 시스템에 대한 면적 법칙의 새로운 증명을 제시하며, 양자 얽힘 엔트로피의 경계를 $ O(\log^3 d / \epsilon) $ 로 지수적으로 향상시킨다. 여기서 $ d $ 는 국소 힐버트 공간 차원이고, $ \epsilon $ 은 스펙트럼 갭이다. 이 접근법은 탐지 가능성 렘마에 의존하지 않으며, 해밀토니안에서 직접적으로 체비셰프 기반의 근사 지배 상태 프로젝터(AGSP)를 구성함으로써, 일반적인(불완전한) 1D 해밀토니안에 적용 가능하게 한다. 이 방법은 결합 차원 $ B = \tilde{O}(\exp(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $ 를 가진 서브지수 시간 알고리즘을 통해 지배 상태 에너지를 근사하는 데 성공하며, 이는 문제의 NP-난이도가 아닐 가능성이 높음을 시사한다. 3-SAT이 서브지수 알고리즘을 갖는다면 말이다.

ABSTRACT

Analog quantum simulation is a promising path towards solving classically intractable problems in many-body physics on near-term quantum devices. However, the presence of noise limits the size of the system and the length of time that can be simulated. In our work, we consider an error model in which the actual Hamiltonian of the simulator differs from the target Hamiltonian we want to simulate by small local perturbations, which are assumed to be random and unbiased. We analyze the error accumulated in observables in this setting and show that, due to stochastic error cancellation, with high probability the error scales as the square root of the number of qubits instead of linearly. We explore the concentration phenomenon of this error as well as its implications for local observables in the thermodynamic limit. Moreover, we show that stochastic error cancellation also manifests in the fidelity between the target state at the end of time-evolution and the actual state we obtain in the presence of noise. This indicates that, to reach a certain fidelity, more noise can be tolerated than implied by the worst-case bound if the noise comes from many statistically independent sources.

연구 동기 및 목표

• 1D 갭이 있는 해밀토니안의 지배 상태에 대한 양자 얽힘 엔트로피 경계를 더 엄밀하게, 지수적으로 향상된 경계로 제시하는 것.
• 탐지 가능성 렘마에 의존하지 않고, 불완전한 해밀토니안에도 적용 가능한 일반적인 AGSP 구성법 개발.
• 지배 상태가 결합 차원이 선형 이하인 행렬 곱 상태(MPS)로 근사 가능함을 보여주며, 지배 상태 에너지 근사에 대한 서브지수 알고리즘을 유도하는 것.
• 1D 해밀토니안의 거듭제곱에 대한 얽힘 랭크에 대한 새로운 '랜덤 워크 유사' 경계 증명.

제안 방법

• 왼쪽 및 오른쪽 부분계의 고유값을 제한하여 해밀토니안 $ H(t) $ 를 절단함으로써 노름을 줄이고 스펙트럼 갭의 구조를 유지하는 방법.
• 체비셰프 다항식을 사용하여 $ H(t) $ 에서 강건한 근사 지배 상태 프로젝터(AGSP)를 구성함으로써, 낮은 얽힘 랭크와 지배 상태로의 강력한 수렴을 확보.
• 새로운 경계를 확립: $ \text{ER}(H^\ell) \leq (\ell d)^{O(\sqrt{\ell})} $, 이는 1D 시스템에서 '랜덤 워크 유사' 얽힘 성장 양상을 묘사함.
• AGSP 를 제품 상태에 적용하여, 결과 상태가 지배 상태와 오차 $ \leq 1/\text{poly}(n) $ 이내로 근사함을 보임.
• 결과로 얻어진 낮은 결합 차원을 가진 MPS에 대해 동적 프로그래밍을 적용하여 지배 상태 에너지를 $ 1/\text{poly}(n) $ 이내로 근사하는 데 서브지수 시간이 소요됨.
• 절단 렘마를 활용하여, 투영된 상태 $ |\Gamma_t\rangle $ 가 진짜 지배 상태와 지수적으로 가까이 있으며, $ H $ 와 $ H(t) $ 의 근사 고유벡터임을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 면적 법칙에서의 얽힘 엔트로피 경계는 허스팅스의 원래 결과인 $ \tilde{O}(\log d / \epsilon) $ 를 초월하여 개선될 수 있는가, 특히 불완전한 해밀토니안의 경우에 대해?
• RQ2 탐지 가능성 렘마에 의존하지 않고 일반적인(불완전한) 1D 해밀토니안에 대해 AGSP 를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 1D 해밀토니안의 거듭제곱에 대한 얽힘 랭크는 '랜덤 워크 유사' 방식으로 증가하는가, 그리고 이를 경계로 표현할 수 있는가?
• RQ4 1D 갭이 있는 시스템의 지배 상태 에너지를 근사하는 데 서브지수 시간 알고리즘을 구성할 수 있는가, 이는 문제가 NP-난이도가 아닐 가능성을 시사한다?

주요 결과

• 1D 갭이 있는 시스템의 지배 상태가 임의의 컷을 가로질러서도 $ O(\log^3 d / \epsilon) $ 이내로 얽힘 엔트로피 경계를 갖는다. 이는 허스팅스의 결과에 비해 지수적으로 향상된 것이다.
• 새로운 '랜덤 워크 유사' 경계가 증명되었으며, $ \text{ER}(H^\ell) \leq (\ell d)^{O(\sqrt{\ell})} $ 로 표현되며, 이는 양자 다체 이론에서 별도의 관심을 끌 수 있다.
• 일반적인 1D 갭이 있는 해밀토니안의 지배 상태는 결합 차원 $ B = \tilde{O}(\exp(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $ 을 가진 행렬 곱 상태(MPS)로 근사 가능하며, 이는 $ n $ 에 대해 선형 이하이다.
• 지배 상태 에너지를 $ 1/\text{poly}(n) $ 이내로 근사하는 데 서브지수 시간 알고리즘을 구성하였으며, 실행 시간은 $ T \leq \exp(\tilde{O}(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $ 이다.
• 이러한 알고리즘의 존재는 1D 갭이 있는 해밀토니안의 지배 상태 에너지를 찾는 것이 NP-난이도가 아닐 것임을 강력히 시사하며, 3-SAT이 서브지수 시간 내에 해결 가능하다면 말이다.
• 절단된 상태 $ |\Gamma_t\rangle $ 가 진짜 지배 상태와 지수적으로 가까운 것으로 밝혀졌으며, $ \| |\Gamma\rangle - |\Gamma_t\rangle \| \leq 2^{-\Omega(t)} $ 이고, $ H $ 와 $ H(t) $ 의 근사 고유벡터임을 증명함.