[논문 리뷰] An arithmetic intersection formula for denominators of Igusa class polynomials

Kristin Lauter, Bianca Viray|Project Muse (Johns Hopkins University)|2012. 10. 29.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아벨 표면의 시겔 모듈리 공간에서 복소 multiplication(CM) 다양체와 G₁의 ℓ-부분 교차수 $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$에 대한 명시적인 산술적 교차 공식을 수립한다. 이는 브루이니에-양 및 양의 이전 연구를 일반화한 것으로, 이중수체에서의 순서의 임bedding 문제와 일반화된 그로스-자이어 이론에 기반한 새로운 접근법을 사용하여, 임의의 원시 4차 CM 체 $K$에 대해 아이구사 클래스 다항식의 분모의 ℓ-adic 값매김을 계산 가능한 공식으로 도출한다. 이는 $\mathcal{O}_K$가 단일 생성이 아닐 경우에도 날카운 상한을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we prove an explicit formula for the arithmetic intersection number (CM(K).G1)_{\ell} on the Siegel moduli space of abelian surfaces, generalizing the work of Bruinier-Yang and Yang. These intersection numbers allow one to compute the denominators of Igusa class polynomials, which has important applications to the construction of genus 2 curves for use in cryptography. Bruinier and Yang conjectured a formula for intersection numbers on an arithmetic Hilbert modular surface, and as a consequence obtained a conjectural formula for the intersection number (CM(K).G1)_{\ell} under strong assumptions on the ramification of the primitive quartic CM field K. Yang later proved this conjecture assuming that O_K is freely generated by one element over the ring of integers of the real quadratic subfield. In this paper, we prove a formula for (CM(K).G1)_{\ell} for more general primitive quartic CM fields, and we use a different method of proof than Yang. We prove a tight bound on this intersection number which holds for all primitive quartic CM fields. As a consequence, we obtain a formula for a multiple of the denominators of the Igusa class polynomials for an arbitrary primitive quartic CM field. Our proof entails studying the Embedding Problem posed by Goren and Lauter and counting solutions using our previous article that generalized work of Gross-Zagier and Dorman to arbitrary discriminants.

연구 동기 및 목표

• 복소 multiplication을 가진 종수 2 곡선에 대해 아이구사 클래스 다항식의 분모의 ℓ-adic 값매김을 계산하는 것.
• 브루이니에-양 및 양의 이전 공식을 일반화하여, CM 체 $K$에 대해 제한 조건이 필요한 경우를 제외하고 적용 가능한 공식을 제공하는 것.
• 원시 4차 CM 체 $K$에 대해 $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$에 대한 날카운 상한을 $\mathcal{O}_K$가 자유 생성이 아닐 경우에도 확보하는 것.
• 암호학적 종수 2 곡선 생성 알고리즘의 효율성을 향상시키기 위해 이러한 분모를 계산하는 방법을 수립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $\overline{\mathbb{F}}_\ell$ 위의 두 $\ell$-동형 타원곡선의 곱의 엔도모르피즘 대수에 대해, 곱의 극화를 고려한 $\mathcal{O}_K$의 임베딩 문제를 연구한다.
• 그로스-자이어 및 도먼의 헤그너 점 이론을 일반화하여, $\ell$-adic 순서를 가진 퀼레르 대수에서의 임베딩 문제의 해를 세는 데 사용한다.
• 핵심 기술 도구는 최대 순서에서 아이디얼 $I$의 승수환의 원소 $w$가 속하는지를 판단하기 위한 조건으로, $\ell$의 거듭제곱 모듈로에서의 추적과 노름 조건이다.
• 특정 정수성 및 추적 조건을 만족하는 노름 $p^{v_\ell(\delta)}$인 아이디얼 $I_p$의 수를 $p$-adic 값매김과 노름 제약 조건을 사용하여 공식화한다.
• 증명은 $\ell$-adic 퀄레르 대수에서의 순서 $R_p u + R_p \delta$의 구조를 분석하고, 이들이 유한한 노름을 가진 아이디얼의 $p$-거듭제곱 배임을 보여주는 데 기반한다.
• 최종 수는 $\delta$를 나누는 소수에 대한 곱으로 표현되며, 각 국소 요소는 $j \equiv v_\ell(\delta) \pmod{2}$ 조건을 만족하는 클래스 수 유사 함수 $\mathfrak{I}^{(p)}_{j - r_p}(\operatorname{Tr}(w), \operatorname{N}(w))$의 합으로 주어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원시 4차 CM 체 $K$에 대해 아이구사 클래스 다항식의 분모의 정확한 ℓ-adic 값매김은 무엇인가?
• RQ2 모든 원시 4차 CM 체 $K$에 대해 $\mathcal{O}_K$가 단일 생성이 아니라는 가정 없이도 산술적 교차수 $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 $\ell$-adic 퀄레르 대수에서의 임베딩 문제의 해의 수는 아이구사 클래스 다항식의 분모와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 모든 원시 4차 CM 체 $K$에 대해 $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$에 대한 날카운 균일한 상한은 무엇인가?
• RQ5 특수한 경우, 예를 들어 $\mathcal{O}_K$가 실 이차부분체의 정수환 위에서 자유 생성될 경우 공식을 단순화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathcal{O}_K$가 실 이차부분체의 정수환 위에서 자유 생성된다는 가정 하에, 모든 $\ell$가 유한한 집합 외부일 경우 $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$에 대한 명시적 공식을 제공한다.
• 모든 원시 4차 CM 체 $K$에 대해 $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$에 대한 날카운 상한이 $\mathcal{O}_K$의 구조에 관계없이 확립된다.
• 임베딩 문제의 해의 수는 $p \mid \delta$, $p \neq \ell$인 소수에 대한 곱으로 표현되며, 각 국소 요소는 $j \equiv v_\ell(\delta) \pmod{2}$ 조건을 만족하는 $\mathfrak{I}^{(p)}_{j - r_p}(\operatorname{Tr}(w), \operatorname{N}(w))$의 합으로 주어진다.
• $R_p u + R_p \delta$의 노름은 $\delta^2 p^{-r_p}$를 나누며, $w$가 승수환에 속하기 위해 $v_p(\operatorname{N}(u)) \geq 2c_p + r_p$가 필수적임을 증명한다.
• $c_p = 0$ 인 경우, 이러한 아이디얼의 수는 정확히 1이며, 이는 $u$를 포함하는 노름 $\delta$인 유일한 아이디얼에 해당하며, 공식이 크게 단순화된다.
• 최종 결과로는 임의의 원시 4차 CM 체 $K$에 대해 아이구사 클래스 다항식의 분모의 배수를 위한 공식이 도출되어 알고리즘 계산에서 개선된 상한을 가능하게 한다.