[논문 리뷰] An arithmetic invariant theory of curves from $E_8$

Avinash Kulkarni|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유일하게 삼중적이고 유리수 분기점을 가진 종수 4 곡선의 아벨-자코비안의 2- torsion 세일러 군 원소와 특정 다양체 위에서 $E_8$ 형식의 분할 고정군이 작용하는 궤도 사이의 대응을 수립한다. 산술 불변량 이론 기법을 사용하여 이전의 $E_7$ 및 초타원곡선 결과를 일반화하며, 이러한 곡선의 유리점 연구를 위한 캐논리컬이고 특성 0인 불변량 이론 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Let $k$ be a field of characteristic 0, let $C/k$ be a uniquely trigonal genus 4 curve, and let $P \in C(k)$ be a simply ramified point of the uniquely trigonal morphism. We construct an assignment of an orbit of an algebraic group of type $E_8$ acting on a specific variety to each element of $J_C(k)/2$. The algebraic group and variety are independent of the choice of $(C,P)$. We also construct a similar identification for uniquely trigonal genus 4 curves $C$ with $P \in C(k)$ a totally ramified point of the trigonal morphism. Our assignments are analogous to the assignment of a genus 3 curve with a rational point $(C,P)$ to an orbit of an algebraic group of type $E_7$ exhibited by Jack Thorne. Our assignment is also analogous to one constructed by Bhargava and Gross, who use it determine average ranks of hyperelliptic Jacobians.

연구 동기 및 목표

• 유리수 분기점이 있는 삼중적 종수 4 곡선에 대해 $E_8$-표현을 이용하여 산술 불변량 이론을 확장하기.
• 플레인 쿼티틱스에 대한 잭 토른의 $E_7$ 기반 대응을 $E_8$ 경우로 일반화하기.
• 곡선 선택과 무관하게 $J_C(k)/2$의 원소를 $E_8$와 관련된 다양체에 속한 $G(k)$-궤도로의 캐논리컬 할당을 구축하기.
• 초타원곡선에 대한 비haar바르바와 그로스의 작업과 유사한 프레임워크를 삼중곡선에 대해 제공하기.
• 이 가족에서 평균 세일러 군 크기 연구를 위한 기초를 마련하기.

제안 방법

• 세르의 체인 코호몰로지와 표준 튜플의 동형을 통한 체인 군 $G(k)$-궤도를 구성하는 토른의 방법을 응용한다.
• 위일 페어링과 $E_8$ 유형의 격자 $\Lambda$를 사용하여 $J_C[2] \cong \Lambda/2\Lambda$를 $k$-군으로 식별한다.
• $A \in J_C(k)$와 $[2]B = A$를 만족하는 2- torsion 상승 $B$ 사이의 토르스 군 동형을 $k^{\mathrm{sep}}$ 상에서 캐논리컬하게 구성한다.
• Galois 작용에 의한 코ycle 구성법을 적용하여 동형 $F$의 $\sigma$-변형을 $[B^\sigma - B]$로 식별하고, 이를 코호몰로지와 연결한다.
• 캐논리컬 식별 $\operatorname{Hom}(\Lambda, \mathbb{G}_m)^{\mathrm{rss}}(k) \to T_0(k)$를 사용하여 $\varphi_0^{-1}(\kappa_C^0)$를 통해 $X_x(k)$ 내의 $G(k)$-궤도를 정의한다.
• $G(k)\backslash X_x(k)$와 $H^1(k, Z_G(\varphi_0^{-1}(\kappa_C^0)))$ 사이의 전단사 대응을 수립하며, 이는 $J_C(k)/2$를 통해 $H^1(k, J_C[2])$로 사상된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 분기점이 있는 유일하게 삼중적 종수 4 곡선의 산술은 $E_7$가 플레인 쿼티틱스에 대해 한 것과 유사하게 $E_8$-군 궤도를 통해 어떻게 암호화될 수 있는가?
• RQ2 이러한 곡선의 자코비안의 $2$-세일러 군은 $E_8$-표현의 궤도 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $J_C(k)/2$의 원소를 $E_8$와 관련된 다양체에 속한 $G(k)$-궤도로의 캐논리컬이고 $k$-독립적인 할당이 존재하는가?
• RQ4 위일 페어링과 토르스 군 동형이 $k^{\mathrm{sep}}$ 상에서 이 대응을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 구성은 초타원곡선에 대한 비haar바르바와 그로스의 작업을 비타원곡선 가족으로 일반화하는가?

주요 결과

• 논문은 $G$가 $E_8$ 형식의 분할 고정군일 때, $J_C(k)/2$의 각 원소를 다양체 $X_x$ 내의 $G(k)$-궤도로의 캐논리컬이고 $k$-독립적인 할당을 구성한다.
• 이 할당은 단사적이며, 코호몰로지 연결을 통해 코 boundary 사상 $\delta: J_C(k)/2 \to H^1(k, J_C[2])$를 통해 인식된다.
• 유리점 $P$ 또는 $[2]B = A$를 만족하는 상승 $B$의 선택과 무관하게, $k^{\mathrm{sep}}$ 상에서의 캐논리컬 동형으로 인해 궤도 구성은 독립적이다.
• $J_C(k)/2$에서 $G(k)\backslash X_x(k)$로의 사상은 Galois 코ycle $\sigma \mapsto F^{-1}F^\sigma$를 통해 실현되며, 여기서 $F$는 토르스 군의 동형에 의해 유도된다.
• 이 구성은 종수 3 곡선의 $E_7$-기반 대응을 종수 4 삼중곡선의 $E_8$-경우로 일반화한다.
• 이 방법은 향후 연구에서 이러한 자코비안의 $2$-세일러 군의 평균 크기를 계산하거나 유계함을 확보하는 데 사용될 수 있는 프레임워크를 제공한다.