[논문 리뷰] An artificial viscosity approach to quasistatic crack growth

Rodica Toader, Chiara Zanini|ArXiv.org|2006. 07. 24.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 14인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 균열의 비가역적 준정적 균열 성장을 모델링하기 위해 새로운 인공 점성 정규화 방법을 제안한다. 여기서 균열 진전은 에너지 함수의 ${\varepsilon}$-기울기 유동의 극한으로 유도된다. 이 방법은 점성 정규화 근사에 의해 해를 선택함으로써 局부 안정성을 보장하고 물리적으로 비현실적인 점프를 방지하며, 약한 그리피스 기준을 만족하는 해로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a new model of irreversible quasistatic crack growth in which the evolution of cracks is the limit of a suitably modified $ε$-gradient flow of the energy functional, as the "viscosity" parameter $ε$ tends to zero.

연구 동기 및 목표

• 기존의 변분 모델에서 전역 최소화에 의해 유도되는 비물리적 점프를 피할 수 있는 비가역적 준정적 균열 성장을 위한 선택 기준을 개발하기 위해.
• 전역 안정성을 점성 정규화에 기반한 국소 안정성 기준으로 대체하기 위해.
• 국소 안정성, 비가역성 및 에너지 부등식을 만족하는 준정적 진전의 존재성을 확립하기 위해.
• 점성 $\varepsilon \to 0$ 근처에서 점성 정규화된 해의 극한이 약한 형태의 그리피스 기준을 만족함을 증명하기 위해.
• 응력 집중 계수에서 유도된 국소 에너지 안정성 조건을 기반으로 한 균열 전파를 위한 엄밀한 분석적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 에너지 함수에 점성 정규화를 도입하여, 급격한 균열 성장을 방지하는 ${\varepsilon}$-기울기 유동을 정의하기 위해.
• 작은 점성 계수 $\varepsilon$를 가진 점성 진동 방정식을 만족하는 정규화된 해의 가중치 $(u_\varepsilon(t), \sigma_\varepsilon(t))$의 가족을 구성하기 위해.
• 절단 함수 $\varphi$와 카치오폴리 유형의 추정을 사용하여 균열 끝 부근에서 정규화된 이동도 $u^\varepsilon(\sigma)$의 기울기를 제어하기 위해.
• 정규화된 이동도 $u^\varepsilon(\sigma)$의 $H^1$에서의 약한 수렴을 증명하고, 약한 표현식과 경계 조건을 통해 이 극한 $u^*(\sigma)$가 기준 이동도 $v(\sigma)$와 일치함을 보여주기 위해.
• 정규화된 에너지와 기울기 노름의 수렴을 확립하여, 극한이 요구되는 에너지 부등식과 안정성 조건을 만족함을 보장하기 위해.
• 응력 집중 계수와 관련된 도함수 $\partial_\sigma E(t, \sigma)$를 사용하여 전역 최소화를 피하는 국소 안정성 조건을 정의하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 응력 집중 계수에 기반한 국소 안정성 기준을 사용하여 비가역적 준정적 균열 성장에서 물리적으로 의미 있는 해를 선택할 수 있는가? 전역 최소화에 의해 발생하는 비물리적 점프를 피할 수 있는가?
• RQ2 전역 안정성이 없는 조건에서 점성 정규화된 해의 극한이 에너지 부등식과 비가역성 조건을 만족하는가?
• RQ3 극한 해가 특히 균열 끝에서의 응력 집중 계수 측면에서 약한 형태의 그리피스 기준과 일관한가?
• RQ4 인공 점성 방법이 국소 안정성과 에너지 균형을 만족하는 해로의 정규화된 해의 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ5 점성 정규화는 전역적으로 안정한 모델에서 발생할 수 있는 비물리적 균열 전파를 어떻게 방지하는가?

주요 결과

• 점성 정규화된 해의 극한 $\varepsilon \to 0$에서 국소 단방향 안정성 조건을 만족한다: 모든 $v \in AD(\psi(t), \sigma(t))$에 대해 $\mathcal{E}(t)(u(t), \sigma(t)) \leq \mathcal{E}(t)(v, \sigma(t))$.
• 응력 집중 계수와 관련된 도함수 $\partial_\sigma E(t, \sigma(t))$는 거의 모든 시간 $t$에서 $\partial_\sigma E(t, \sigma(t)) \geq 0$를 만족하여, 그로 인해 약한 형태의 그리피스 기준이 성립함을 나타낸다.
• 정규화된 해는 $H^1$에서 극한 $u^*(\sigma)$로 약하게 수렴하며, 이 극한이 영역 $B_{-2} \setminus \Gamma(\sigma)$ 내에서 기준 이동도 $v(\sigma)$와 일치함을 보여준다.
• 정규화된 이동도 $u^\varepsilon(\sigma)$의 기울기의 $L^2$-노름은 $v(\sigma)$의 기울기의 노름으로 수렴하여, 극한에서 에너지 일관성이 보장된다.
• 이 방법은 에너지 부등식이 성립함을 보장한다: 모든 $s < t$에 대해 $\mathcal{E}(t)(u(t), \sigma(t)) \leq \mathcal{E}(s)(u(s), \sigma(s)) + \text{Work}(u; s, t)$.
• 영역 $\tilde{R}_\varepsilon$에 대한 카치오폴리 유형의 추정은 $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\tilde{R}_\varepsilon} |Dw_\varepsilon|^2 \, dx = 0$를 증명하며, 이는 균열 끝 부근에서 기울기를 제어하는 데 필수적이다.