[논문 리뷰] An Asymptotic Expansion Formula for Up-and-Out Barrier Option Price under Stochastic Volatility Model

Takashi Kato, Akihiko Takahashi외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 관련 PDE에 엄밀한 섭동 방법을 적용하여, SABR 모델을 포함한 확률적 볼atility 모델 하에서 업-아웃 바리어 옵션을 정가하는 데 위한 반폐쇄형 渐近 전개 공식을 개발한다. 이 방법은 블랙-숄즈 바리어 옵션 가격에 대한 일阶 보정을 제공하여 영제로 근사보다 정확도를 크게 향상시키며, 수치 결과는 다양한 볼atility 및 바리어 수준에서의 효과성을 확인한다.

ABSTRACT

This paper derives a new semi closed-form approximation formula for pricing an up-and-out barrier option under a certain type of stochastic volatility model including SABR model by applying a rigorous asymptotic expansion method developed by Kato, Takahashi and Yamada (2012). We also demonstrate the validity of our approximation method through numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 확률적 볼atility 모델 하에서 닫힌형 해가 없는 경로에 따라 의존하는 바리어 옵션 가격에 대한 실용적인 해석적 근사법을 개발하는 것.
• 카토, 타카하시, 요나다의 渐近 전개 방법을 이전에 다운-아웃 옵션에만 적용된 경우에서 업-아웃 경우로 확장하는 것.
• 실제로 경로에 따라 의존하는 파생상품을 정가하기 위한 몬테카를로 시뮬레이션의 수치적 효율성이 높은 대안을 제공하는 것.
• 제안된 근사법의 정확도와 강인성을 다양한 모델 파라미터와 바리어 수준에서 검증하는 것.

제안 방법

• 기초 자산과 그 볼atility의 상관관계가 있는 확률적 볼atility 모델 하에서 옵션 가격에 대한 PDE를 유도한다.
• ε = 0 (블랙-숄즈) 경우를 중심으로 한 엄밀한 渐近 전개 방법을 Cauchy–Dirichlet 문제의 PDE에 적용한다.
• 전이 밀도의 셀프-그룹 표현을 사용하여 볼atility 과정의 생성자 포함 일계 보정 항을 표현한다.
• 블랙-숄즈 바리어 옵션 가격에 대한 볼atility 및 교차항에 대한 도함수를 사용하여 일계 보정 항을 명시적으로 계산한다.
• 옵션 가격을 도메인 D = (−∞, log H)에서의 첫 번째 외부 시간까지 살해된 확산 과정에 대한 기댓값으로 표현하기 위해 페인만–카프 공식을 활용한다.
• 반그룹 연산자를 사용하여 보정 항을 수치적으로 평가하고, 몬테카를로 시뮬레이션 결과를 기준으로 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SABR 모델을 포함한 확률적 볼atility 모델 하에서 업-아웃 바리어 옵션에 대해 반폐쇄형 渐近 전개를 유도할 수 있는가?
• RQ2 다양한 바리어 수준과 볼atility 파라미터에서 일계 보정 항이 블랙-숄즈 가격에 대해 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 다양한 모델 구성에서 몬테카를로 시뮬레이션과 비교해 볼 때, 渐近 전개 방법의 정량적 성능은 어떠한가?
• RQ4 볼atility의 볼atility(εν)가 증가함에 따라 이론적 방법이 강인성을 유지하는가?
• RQ5 블랙-숄즈 바리어 옵션 가격에 대한 볼atility 및 교차항에 대한 편도함수는 보정 항에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 渐近 전개 공식은 블랙-숄즈 바리어 옵션 가격에 대한 일계 보정을 제공하여 영제로 근사보다 가격 오차를 크게 감소시킨다.
• εν = 0.1일 때, AE 제1 근사법은 모든 시험된 스탑 및 바리어 수준에서 상대 오차가 1.7% 이하로 유지되며, AE 제0 근사법은 8%를 초과하는 오차를 보인다.
• εν가 0.2로 증가할 경우, AE 제1 근사법은 여전히 상대 오차가 4.5% 이하로 유지되어 높은 확률적 볼atility 하에서도 강인성을 입증한다.
• 사례 6(H=140, εν=0.2)에서 AE 제1 방법은 몬테카를로 가격을 0.78% 약간 초과하여 평가함으로써 고볼atility 환경에서도 높은 정확도를 보인다.
• 보정 항 εe−cT ∫₀ᵀ ̄Pᴰₛ ˜L₀¹ ̄Pᴰᵀ−s f(x) ds 는 진짜 옵션 가격과 블랙-숄즈 가격 간의 격차를 효과적으로 보완하여 이론의 타당성을 확인한다.