[논문 리뷰] An asymptotic formula for the displacement field in the presence of small anisotropic elastic inclusions

Elena Beretta, Éric Bonnetier외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 20.

Composite Material Mechanics참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소형 비균질 고무체를 포함하는 매끄럽고 비균질 탄성체에서 변위장의 渐近 공식을 유도한다. 이는 이전의 전도도 기반 결과를 확장한 것이다. 노이만 경계 조건 프레임워크를 사용하여, 포함체의 측도와 탄성 모멘트 텐서 𝕄에 대한 경계 변위 차이의 일계 전개를 수립한다. 이 텐서 𝕄는 기하학적 제약 없이 비균질 재료 대비 및 기하학을 캡슐화하며, 포함체의 기하학적 형태에 제한이 없다.

ABSTRACT

We derive asymptotic expansions for the displacement at the boundary of a smooth, elastic body in the presence of small inhomogeneities. Both the body and the inclusions are allowed to be anisotropic. This work extends prior work of CapdeBoscq and Vogelius ({\em Math. Modelling Num. Anal.} 37, 2003) for the conductivity case. In particular, we obtain an asymptotic expansion of the difference between the displacements at the boundary with and without inclusions, under Neumann boundary conditions, to first order in the measure of the inclusions. We impose no geometric conditions on the inclusions, which need only be measurable sets. The first-order correction contains an elastic moment tensor $\MM$ that encodes the effect of the inclusions. In the case of thin, strip-like, planar inhomogeneities we obtain a formula for $\MM$ only in terms of the elasticity tensors, which we assume strongly convex, their inverses, and a frame on the curve that supports the inclusion. We prove uniqueness of $\MM$ in this setting and recover the formula previously obtained by Beretta and Francini ({\em SIAM J. Math. Anal.}, 38, 2006).

연구 동기 및 목표

• 소형 비균질 포함체를 가진 선형 탄성에서 경계 변위 차이에 대한 渐近 전개를 유도하는 것.
• 이전의 전도도 기반 渐近 공식을 비균질 탄성 설정으로 일반화하는 것.
• 포함체에 기하학적 제약 없이 탄성 모멘트 텐서 𝕄를 특성화하는 것. 유일성은 가측성 조건만 요구한다.
• 탄성 텐서와 곡선 기준을 사용하여 얇고 평면적인 스트립 형태의 포함체에 대해 𝕄를 명시적으로 계산하는 것.
• 강한 볼록성 조건 하에서 얇은 포함체의 경우 모멘트 텐서의 유일성을 증명하고, 이전 연구에서 알려진 공식을 복원하는 것.

제안 방법

• 비균질이고 강한 볼록성을 가진 탄성 텐서를 가진 선형화된 탄성에 대해 캡데보스크-보지에우스 방법을 전도도에서 일반화한다.
• 경계 ∂Ω에서 다음 형태의 渐近 전개를 유도한다: $ (u_\epsilon - U)(y) = |\omega_\epsilon| \int_\Omega \mathbb{M}(x) \widehat{\nabla}U(x) : \widehat{\nabla}N(x,y) \, d\mu_x + o(|\omega_\epsilon|) $.
• 배경 탄성 연산자 $ \text{div}(\mathbb{C}_0 \widehat{\nabla} \cdot) $ 와 관련된 노이만 함수 $ N $ 을 사용한다.
• Korn 부등식과 $ \mathbb{C}_0 $ 의 강한 볼록성을 적용하여 변위의 기울기의 $ L^2 $-노름을 제어한다.
• 얇은 포함체의 경우, 프랑코르-무라의 동질화 프레임워크를 따르며, 효과적 텐서의 극한을 통해 $ \mathbb{M} $ 를 구성한다.
• 정밀한 정규성 이론(Li-Nirenberg)과 포함체 경계에서의 전달 조건을 활용하여 평면 얇은 포함체의 경우 $ \mathbb{M} $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소형 비균질 포함체에 의한 변위 변화는 선형 탄성에서 어떻게 渐近적으로 전개될 수 있는가?
• RQ2 기하학적 제약 없이 일반적인 비균질 케이스에서 탄성 모멘트 텐서 $ \mathbb{M} $ 의 구조는 어떠한가?
• RQ3 모멘트 텐서 $ \mathbb{M} $ 는 탄성 텐서 $ \mathbb{C}_0 $, $ \mathbb{C}_1 $ 과 포함체 기하학에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 얇고 평면적인 포함체에 대해 모멘트 텐서를 명시적으로 계산할 수 있으며, 강한 볼록성 조건 하에서 유일한가?
• RQ5 유도된 공식은 등방성 케이스, 특히 얇은 포함체의 경우 기존 결과를 복원하는가?

주요 결과

• 경계 $ \partial\Omega $ 에서 $ u_\epsilon - U $ 의 일계 전개가 $ |\omega_\epsilon| $ 에 대해 유도되었으며, 가측성 있는 포함체에 대해 유효하다.
• 일계 보정항은 라돈 측도 $ \mu $ 와 탄성 모멘트 텐서 $ \mathbb{M} \in L^2(\Omega, d\mu) $ 를 포함하며, 이는 $ \mathbb{C}_0 $ 와 $ \mathbb{C}_1 $ 의 대비에 의존한다.
• 지름이 매우 작은 포함체의 경우 $ \mu $ 는 포함체 중심에서의 드로프 측도이며, $ \mathbb{M} $ 는 포함체의 형태와 탄성 대비에 의존한다.
• 얇고 평면적인 포함체의 경우 $ \mu $ 는 매끄러운 곡선 $ \sigma_0 $ 에서 지지되며, 탄성 텐서와 곡선 기준을 사용하여 $ \mathbb{M} $ 가 명시적으로 특성화된다.
• 강한 볼록성 조건 하에서 얇은 포함체의 경우 $ \mathbb{M} $ 의 유일성이 증명되었다.
• 이 공식은 등방성 케이스에서 베라타와 프랑코르의 (2006) 결과를 복원하여 이전 연구와의 일致성을 검증한다.