[논문 리뷰] An Asymptotic-Preserving all-speed scheme for the Euler and Navier-Stokes equations

Floraine Cordier, Pierre Degond외 1명|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2011. 08. 14.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 초음속에서 비압축성 유동에 이르기까지 모든 마하 수에서 안정적이고 정확한 해를 제공하는, 오일러 및 라우에-나비에-스토크스 방정식을 위한 점근 보존(all-speed) 유한체적 스킴을 제시한다. 음파 항목을 암시적으로 다루고, 반음향적 이산화를 사용함으로써, 시간 간격이 마하 수에 영향을 받지 않으며, 비압축성 극한에서 수렴성 없는 속도를 유지하고, 압력을 타원형 방정식을 통해 해결함으로써 두 영역 모두에서 일관된 2차 정밀도로 시뮬레이션할 수 있다.

ABSTRACT

We present an Asymptotic-Preserving 'all-speed' scheme for the simulation of compressible flows valid at all Mach-numbers ranging from very small to order unity. The scheme is based on a semi-implicit discretization which treats the acoustic part implicitly and the convective and diffusive parts explicitly. This discretization, which is the key to the Asymptotic-Preserving property, provides a consistent approximation of both the hyperbolic compressible regime and the elliptic incompressible regime. The divergence-free condition on the velocity in the incompressible regime is respected, and an the pressure is computed via an elliptic equation resulting from a suitable combination of the momentum and energy equations. The implicit treatment of the acoustic part allows the time-step to be independent of the Mach number. The scheme is conservative and applies to steady or unsteady flows and to general equations of state. One and Two-dimensional numerical results provide a validation of the Asymptotic-Preserving 'all-speed' properties.

연구 동기 및 목표

• 고속 압축성에서 저마하 비압축성 유동에 이르기까지 모든 마하 수에서 안정적이고 정확한 수치 스킴을 개발하는 것.
• 점근 보존(Asymptotic-Preserving)이 되도록 보장하는 것. 즉, 마하 수가 0으로 수렴할 때, 비압축성 극한의 일관된 이산화로 수렴하는 것.
• 음속에 의존하지 않는 시간 간격을 유지함으로써, 저마하 영역에서 기존의 명시적 스킴이 겪는 심각한 CFL 제약을 극복하는 것.
• 비압축성 영역에서 속도의 수렴성 없는 조건을 유지하고, 정확히 압력을 복원하는 것.
• 기존의 점근 보존 스킴을 등온 상태에서 전체 오일러 및 나비에-스토크스 방정식으로 확장하여 에너지와 일반적인 상태 방정식을 포함하는 것.

제안 방법

• 음파 항목은 암시적으로, 유동 및 점성 항목은 명시적으로 다루는 반음향적 유한체적 이산화를 사용하여, 마하 수에 의존하지 않는 시간 간격을 확보한다.
• 비압축성 극한에서 속도의 수렴성 없는 조건을 강제하기 위해 격자 구조를 왜곡하여 사용한다.
• 운동량 및 에너지 방정식을 조합하여 타원형 압력 방정식을 유도함으로써, 저마하 영역에서 일관된 압력 재구성 보장.
• 음파 항목의 암시적 처리로 인해 시간 간격이 음속이 아닌 유체 속도에 기반하게 되어, 저마하 유동에서의 강성 문제를 제거한다.
• 플럭스 재구성에 Kurganov-Tadmor 유형의 중심 스킴을 사용하여 2차 정밀도 확보.
• 이 방법은 보존적이며, 일반적인 상태 방정식(완전 기체 및 실제 유체 모델 포함)을 사용하는 정 steady 및 비정 steady 유동에 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 수치 스킴이 재설정 없이도 고속 압축성과 저속 비압축성 유동 영역을 정확하게 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 마하 수가 매우 작은 값(예: 10−4)으로 떨어질 때에도 스킴이 안정성과 정밀도를 유지하는가?
• RQ3 시간 간격이 마하 수에 의존하지 않으면서도 정확한 충격 속도와 비압축성 거동을 유지하는가?
• RQ4 비압축성 극한에서 속도의 수렴성 없는 조건을 얼마나 잘 이행하는가?
• RQ5 일반 상태 방정식을 사용하여 열전달, 상변화를 포함한 복잡한 흐름을 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 스킴은 고압축성 및 비압축성 영역 모두에서 2차 정밀도를 달성하며, 정확한 충격 속도와 불연속성의 해상도를 보여준다.
• 저마하 영역(ε = 10−4)에서, 비압축성 극한과 일치하는 순환 흐름 패턴을 생성하였으며, 전용 저마하 Roe 스킴의 결과와 일치한다.
• 열에 의한 캐비티 시험 케이스에서 Roe 스킴은 올바른 유동 구조를 포착하지 못하지만, AP 스킴과 저마하 Roe 스킴은 유사하고 물리적으로 정확한 결과를 생성한다.
• 열에 의한 캐비티 케이스에서 국소 마하 수는 10−5에서 10−9 사이로 변동하여 비압축성 영역임을 확인하였으며, AP 스킴은 안정적이고 정확하게 유지된다.
• 시간 간격은 음속이 아닌 유체 속도에 기반하여 설정되어, 저마하 유동에서 기존의 명시적 스킴보다 훨씬 큰 시간 간격을 허용한다.
• 실수 물/수증기 상태 방정식과 4방정식 혼합 모델을 사용하여, 상변화와 열전달을 포함한 가열된 채널 내의 두상유동을 성공적으로 시뮬레이션하였다.