[논문 리뷰] An asymptotic representation formula for scattering by thin tubular structures and an application in inverse scattering

Yves Capdeboscq, Roland Griesmaier외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 02.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 얇은 관형 구조물에 의한 전자기 산란에 대해 渐近적 표현 공식을 유도하며, 산란장이 중심 곡선을 따라 적분된 형태로 수렴함을 보여주며, 이는 이중 그린 함수와 분극 텐서를 포함한다. 주요 기여는 전기 및 자기 분극 텐서의 점별 특성화로, 이는 중심 곡선에 수직인 평면에서 2차원 횡단면 텐서와 일치함을 입증하여, 맥스웰 방정식을 반복적으로 풀지 않고도 효율적인 역산란 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the scattering of time-harmonic electromagnetic waves by a penetrable thin tubular scattering object in three-dimensional free space. We establish an asymptotic representation formula for the scattered wave away from the thin tubular scatterer as the radius of its cross-section tends to zero. The shape, the relative electric permeability and the relative magnetic permittivity of the scattering object enter this asymptotic representation formula by means of the center curve of the thin tubular scatterer and two electric and magnetic polarization tensors. We give an explicit characterization of these two three-dimensional polarization tensors in terms of the center curve and of the two two-dimensional polarization tensor for the cross-section of the scattering object. As an application we demonstrate how this formula may be used to evaluate the residual and the shape derivative in an efficient iterative reconstruction algorithm for an inverse scattering problem with thin tubular scattering objects. We present numerical results to illustrate our theoretical findings. Mathematics subject classifications (MSC2010): 35C20, (65N21, 78A46)

연구 동기 및 목표

• 교착 단면 반지름이 0으로 수렴할 때 얇은 관형 물체에 의한 전자기 산란에 대한 渐近적 표현 공식을 개발하는 것.
• 중심 곡선과 횡단면 기하학에 기반하여 얇은 관형 산란체의 분극 텐서를 특성화하는 것.
• 전체 맥스웰 해를 반복적으로 풀지 않고도 단순화된 渐近적 모델로 대체함으로써, 역산란 문제에서 반복적 재구성의 효율성을 높이는 것.
• 근원장 데이터로부터 얇은 관형 산란체의 중심 곡선을 재구성하는 데에 渐近적 공식을 적용하는 것.
• 타원형 단면에 대한 명시적 공식을 제공하고 수치적으로 접근법을 검증하는 것.

제안 방법

• 시간 조화 맥스웰 방정식을 사용하여 자유 공간 내 얇은 관형 산란체에 대한 산란 전자기장의 渐近 전개를 유도한다.
• 문헌 [1, 28]의 저체적 편미분 프레임워크를 문헌 [4, 9]의 적분방정식 기법을 통해 비유한 영역로 확장한다.
• 전기 및 자기 분극 텐서를 3×3 대칭 행렬로 특성화하며, 이 중 하나의 고유벡터는 중심 곡선에 접선 방향이며 고유치는 1이다.
• 중심 곡선에 수직인 평면에서 3차원 분극 텐서가 횡단면의 2차원 분극 텐서로 축소됨을 보여준다.
• 渐近 공식을 사용하여 반복 과정 중 맥스웰 방정식을 풀지 않고도 잔차와 형상 도함수를 구성하는 재구성 알고리즘을 개발한다.
• 원형 단면을 가진 역산란에 이 방법을 적용하여, 근원장 데이터를 이용해 반복적 방법으로 중심 곡선을 재구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양이 많이 얇은 관형 산란체의 단면 반지름이 0으로 수렴할 때 산란 전자기장은 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ2 일반적인 얇은 관형 산란체에 대해 전기 및 자기 분극 텐서의 명시적 구조는 무엇인가?
• RQ3 분극 텐서는 중심 곡선의 기하학과 2차원 횡단면 형상에 의해 표현될 수 있는가?
• RQ4 渐近 표현 공식은 얇은 관형 물체에 대한 역산란 알고리즘의 가속화에 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 근원장 측정치로부터 중심 곡선을 복원하는 데에 있어, 최종적으로 도출된 반복적 재구성 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 양이 많이 얇은 관형 산란체의 반지름이 0으로 수렴함에 따라 산란장은 0으로 수렴하지만, 주요 항은 비자명하며 효과적 산란 거동을 포괄한다.
• 분극 텐서는 3×3 대칭 행렬이며, 중심 곡선에 접선 방향을 가리키는 하나의 고유벡터와 고유치 1을 가진다. 이는 종방향 분극 우세성을 나타낸다.
• 중심 곡선에 수직인 평면에서 3차원 분극 텐서는 정확히 횡단면의 2차원 분극 텐서와 일치하며, 차원 축소가 가능하다.
• 타원형 단면의 경우 2차원 분극 텐서에 대한 명시적 공식이 존재하여, 산란장의 완전히 명시적인 渐近적 표현이 가능해진다.
• 渐近 모델을 통해 맥스웰 시스템을 한 번도 풀지 않고도 잔차와 형상 도함수를 계산하는 반복적 역산란 알고리즘을 구현할 수 있어 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 수치 결과는 이론적 예측을 확인하며, 원형 단면을 가진 얇은 관형 산란체에 대해 제안된 재구성 방법의 효율성과 정확성을 입증한다.