[논문 리뷰] An asymptotic variance of the self-intersections of random walks

George Deligiannidis, Sergey Utev|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 27.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 14인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고전적인 타우버형 정리들을 피하는 새로운 다르부-위erner 유형의 보조정리(lemma)를 사용하여, 일차원 및 이차원 랜덤 워크에서 자기교차의 정확한 渐近 분산을 도출한다. 이는 오랫동안 제기되어 온 $\operatorname{var}(V_n) \sim C n^2$ (d=1,2)에 대한 추측을 해결하며, 케스텐과 스피츠터가 제기한 랜덤 워크-랜덤 스카이니에 대한 함수적 중심극한정리도 확인한다.

ABSTRACT

We present a Darboux-Wiener type lemma and apply it to obtain an exact asymptotic for the variance of the self-intersection of one and two-dimensional random walks. As a corollary, we obtain a central limit theorem for random walk in random scenery conjectured by Kesten and Spitzer in 1979.

연구 동기 및 목표

• 1D 및 2D 랜덤 워크의 자기교차 분산이 $O(n^2)$로 渐近적으로 성립한다는 오랫동안 제기된 추측을 해결하기 위해.
• 증분 분포에 대한 일반적인 조건 하에서 1차원 및 2차원에서 $\operatorname{var}(V_n)$에 대한 정확한 渐近 표현식을 제공하기 위해.
• 케스텐과 스피츠터가 제기한 바와 같이, 랜덤 워크-랜덤 스카이니에 대한 함수적 중심극한정리를 확립하기 위해.
• 단조성 조건이 없는 타우버형 정리의 가정을 피하는 복소생성함수와 코시 적분공식을 기반으로 한 새로운 방법을 개발하기 위해.

제안 방법

• 복소수 $\lambda$를 사용한 $\operatorname{var}(V_n)$의 생성함수의 渐近 분석을 위해 다르부-위너 유형의 보조정리를 도입하여, 고전적인 타우버형 정리들을 회피한다.
• 코시 적분공식을 사용하여 생성함수의 계수를 추출함으로써, 단조성 제약 조건 없이 정확한 渐近 분석을 가능하게 한다.
• 지역극한정리 기법을 기반으로 한 직접적인 푸리에 접근법을 적용하여, 타우버형 정리 방법 없이 분산 상한을 도출한다.
• 조건부 린데버그 유형의 추론과 최대부등식을 활용하여 $Y_n(t)$가 브라운 운동으로의 약한 수렴을 증명한다.
• 절단 기법과 뉴먼-크라이트 최대부등식을 사용하여 유한차원 분포의 타이트함을 확립한다.
• 국소시간의 渐近 분석과 $\sup_\alpha N_\alpha(n)$에 대한 거의확실한 경계를 활용하여 스카이니 과정의 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 캐비 법칙으로 수렴하는 일차원 랜덤 워크의 자기교차 $V_n$에 대한 정확한 渐近 분산은 무엇인가?
• RQ2 비특이 공분산 행렬을 가진 이차원 랜덤 워크의 자기교차에 대한 정확한 渐近 분산은 무엇인가?
• RQ3 케스텐과 스피츠터가 추측한 바와 같이, 정규화 $c_n = \sqrt{n \log n}$ 하에서 랜덤 워크-랜덤 스카이니에 대한 함수적 중심극한정리가 성립하는가?
• RQ4 대칭성 가정 없이도 타우버형 정리들을 피한 채 분산 추측을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• d=1일 때, $f(t) = 1 - \gamma|t| + R(t)$ 이며 $R(t) = o(|t|)$ 이면, $\operatorname{var}(V_n) \sim 4\left(\frac{1}{12\gamma^2} + \frac{1}{\pi^2\gamma^2}\right)n^2$.
• d=2일 때, $f(t) = 1 - \frac{1}{2}\langle\Sigma t, t\rangle + R(t)$ 이며 $R(t) = o(|t|^2)$ 이면, $\operatorname{var}(V_n) \sim 4(2\pi)^{-2}|\Sigma|^{-1}(1 + \kappa)n^2$, 여기서 $\kappa = \int_0^\infty\int_0^\infty \frac{dr\,ds}{(1+r)(1+s)\sqrt{(1+r+s)^2 - 4rs}} - \frac{\pi^2}{6}$.
• 대칭성 가정 없이도 복소해석적 방법을 사용하여 타우버형 정리들을 피한 채 분산 추측 $\operatorname{var}(V_n) = O(n^2)$ 가 확인된다.
• 랜덤 워크-랜덤 스카이니에 대한 함수적 중심극한정리가 증명된다: $Y_n(t) = \sqrt{\pi\gamma} \sum_{i=0}^{[nt]} \xi(S_i)/\sigma\sqrt{2n\log n}$ 는 거의확실하게 $D[0,1]$ 에서 브라운 운동으로 약한 수렴한다.
• 유한차원 분포 $Y_n(t)$ 는 브라운 운동의 분포로 수렴하며, 절단 및 최대부등식을 통해 타이트함이 확립된다.
• 분산 상한 $O(n^2)$ 과 볼타우젠 및 다른 이들의 결과에 기반하여, $V_n / \mathbb{E}[V_n] \to 1$ 이 거의확실하게 성립함을 확인한다.