[논문 리뷰] An Atiyah-Singer theorem for gerbes

Aristide Tsemo|ArXiv.org|2003. 02. 05.

Mathematical and Theoretical Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 벡터적 기브스를 통해 스위치 K-이론의 설정으로 고전적 인덱스 정리를 일반화함으로써 기브스에 대한 아티야-식이 타입의 인덱스 정리를 수립한다. 리만다이언 다양체에 관련된 클리퍼드 기브스 위에 디랙 연산자를 구성하고, 만약 스칼라 곡률이 엄격히 양이면 디랙 연산자의 인덱스가 0이 됨을 증명한다. 이는 전통적인 스피너 장이 존재하지 않는 비스핀 다양체로 리히너비츠 정리를 확장한다.

ABSTRACT

Let M be a riemannian manifold. The existence of a spin structure on M, enables to study the topology of M. The obstruction to the existence of the spin structure is given by the second Stiefel-Whitney class. This class is the classifying cocycle of a gerbe. One may expect that the study of this gerbe may have topological applications, for example, one may try to generalize the spinors Lichnerowicz theorem in this setting. On this purpose, we must first prove an Atiyah-Singer theorem for gerbes which is the main goal of this paper.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 스피너 장이 존재하지 않는 비스핀 다양체에서 전통적인 스피너 장의 개념이 적용되지 않는 상황에서 아티야-식 인덱스 정리를 기브스의 설정으로 일반화하는 것.
• 벡터적 기브스와 그 위에 정의된 리만계량 이론을 개발하여 디랙 유형의 연산자를 구성할 수 있도록 하는 것.
• 기브스에 대한 카른 특성류와 인덱스 맵을 정의함으로써 K-이론과 코homology의 동형관계를 스위치 설정으로 확장하는 것.
• 스칼라 곡률이 양일 경우 클리퍼드 기브스 위의 디랙 연산자의 인덱스가 소멸하는 리히너비츠 유형의 정리 증명.
• 기브스 연산자에 관련된 K-이론 클래스에 대해 메이어-비에토리스 유형의 구성 방식을 수립하여 국소적 인덱스 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 구조군이 GL(V)인 벡터 다발의 층으로서의 벡터적 기브스의 개념을 도입하며, 그 전이 자료는 GL(V)의 부분군 H에 값이 있는 2-코호몰로지로 구성된다.
• 리만다이언 다양체 M에 관련된 클리퍼드 기브스 Cl(M)를 O(n)-프레임을 Spin(n)으로 올리는 방식으로 정의하며, 전이 함수는 클리퍼드 대수 Cl(R^n) 위에서 작용하는 Spin(n)에 속한다.
• 클리퍼드 기브스에 리만계량을 부여하고 리만계량 접속과 스피너 접속 φ_ij = -1/4 w_ij를 사용하여 스피너 유형의 코발런트 도함수를 구성한다.
• 국소적 표준형에서 정의된 옥타드 기저와 스피너 접속을 사용하여 각 U에 대해 D_{e_U} = ∑ e_i ∇_spin_{e_i} 형태의 디랙 연산자를 정의한다.
• 디랙 연산자의 제곱을 연결 라플라스 연산자와 스칼라 곡률로 연결하는 리히너비츠-베이츠보크 공식 D² = ∇*∇ + 1/4 s 를 적용한다.
• K-이론에서의 메이어-비에토리스 수열을 사용하여 개방된 집합 위의 디랙 연산자의 기호의 국소적 K₁-클래스를 붙여붙여 전체 인덱스 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적인 스피너 장이 존재하지 않는 비스핀 다양체에서 아티야-식 인덱스 정리를 기브스로 일반화할 수 있는가, 특히 스피너 기브스의 경우에 대해?
• RQ2 전역적으로 스피너 다발이 존재하지 않는 클리퍼드 기브스 위에서 디랙 연산자와 그 인덱스를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 클리퍼드 기브스 위의 디랙 연산자의 인덱스가 소멸하는 기하적 조건은 무엇인가?
• RQ4 기브스 위의 디랙 연산자의 기호 K-이론 클래스가 메이어-비에토리스 붙임을 통해 전역적으로 정의될 수 있는가?
• RQ5 스피너 기브스의 분류 코호몰로지로서의 두 번째 스티펠-브라이트 클래스가 인덱스 이론에서 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 모든 리만다이언 다양체 M에 대해, M이 스피너가 아니더라도 클리퍼드 기브스 Cl(M) 위에 잘 정의된 디랙 연산자를 구성한다.
• 클리퍼드 기브스 위의 디랙 연산자에 대해 리히너비츠-베이츠보크 공식이 성립한다: D² = ∇*∇ + 1/4 s, 여기서 s는 스칼라 곡률이다.
• 스칼라 곡률 s가 엄격히 양이며 M가 컴act일 경우, 모든 조화 전역 스피너는 0이 되며, 이에 따라 인덱스가 소멸한다.
• 스칼라 곡률이 엄격히 양인 컴 pact 다양체에서 클리퍼드 기브스 위의 디랙 연산자의 인덱스는 0이 된다.
• 코탄젠트 번들의 K-이론에서 ℝ로의 인덱스 맵은 t(M)라는 클래스에 대해 적분으로 주어지며, Ind(P) = ∫_{T*M} ch([σ_P']) ∧ t(M) 로 표현된다.
• 카른 특성류는 K₀(T*M) ⊗ ℝ → H_c^{even}(M, ℝ) 사이의 동형을 유도하며, 이에 따라 인덱스는 코탄젠트 번들의 특성류를 통해 계산될 수 있다.