[논문 리뷰] An automorphic variant of the Deligne conjecture

Jie Lin|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 27.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이차 허수 체 위의 $GL_n \times GL_{n'}$ 자동형 표류의 Rankin-Selberg L함수에 대해 Deligne 추측의 자동형 변형을 제안한다. 자동형 주기(period)를 정의하고 이를 모티빅 주기와 연결함으로써, 추측의 순수하게 자동형 형태의 버전을 수립하며, 여러 경우에서 원래 Deligne 추측과의 호환성을 증명한다. 이 경우들은 $n'=1$, $n>n'$ 이면서 짝수성과 갭 조건을 만족할 때, 그리고 $m=1$ 이면서 같은 짝수성일 때 포함된다.

ABSTRACT

In this paper we introduce an automorphic variant of the Deligne conjecture for tensor product of two motives over a quadratic imaginary field. On one hand, we define some motivic periods and rewrite the Deligne conjecture in terms of these periods. On the other hand, we define the automorphic analogue of these motivic periods and then give a purely automorphic variant of the Deligne conjecture. At last, we introduce some known results of this automorphic variant.

연구 동기 및 목표

• 이차 허수 체 위의 모티빅스의 텐서 곱에 대해 Deligne 추측의 순수 자동형 형태의 버전을 제안한다.
• 모티빅 주기와 유사한 자동형 주기를 정의하고, Deligne 추측과의 호환성을 확립한다.
• 특정 경우들, 즉 $n'=1$, $n>n'$ 이면서 갭 조건을 만족할 때, 그리고 $m=1$ 이면서 같은 짝수성일 때 자동형 형태의 Deligne 추측을 증명한다.
• 결과를 CM 체로 일반화하고, 기저 변경 하에 자동형 주기의 함수적 성질을 수립한다.

제안 방법

• 이차 허수 체 위의 모티빅스에 대해 모티빅 주기를 정의하고, 이를 바탕으로 Deligne 추측을 재구성한다.
• 이차 허수 체 $K$ 위의 $GL_n(\mathbb{A}_K)$의 극대표현에 대해 자동형 주기를 도입한다.
• 다음 공식을 통해 자동형 주기와 $L$-함수의 임계값 사이의 추측적 관계를 수립한다: $L(m,\Pi \times \Pi') \sim_{E(\Pi)E(\Pi');K} (2\pi i)^{nn'm} \prod_j P^{(j)}(\Pi)^{sp(j,\Pi;\Pi')} \prod_k P^{(k)}(\Pi')^{sp(k,\Pi';\Pi)}$.
• 기저 변경 이론을 활용하여 서로 다른 CM 체 간의 자동형 주기를 연결하고, 무한대 자리에서의 주기 분해를 확립한다.
• 세 가지 핵심 사례에서 자동형 형태의 Deligne 추측을 증명한다: $n'=1$, $n>n'$ 이면서 짝수성과 갭 조건이 다른 경우, 그리고 $m=1$ 이면서 같은 짝수성일 경우.
• Harris(1997), Gan-Gross-Prasad(2015), 그리고 저자의 박사학위 논문(2015)에서 얻은 기존 결과를 활용하여 이 사례들에서 추측의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 허수 체 위의 모티빅스의 텐서 곱에 대한 Deligne 추측을 자동형 주기의 언어로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 자동형 형태의 Deligne 추측은 원래 모티빅스 추측과 호환되는가?
• RQ3 GL_n \times GL_{n'}에 대한 Rankin-Selberg L-함수의 임계값은 무엇이며, 자동형 주기와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 CM 체에서 기저 변경 하에 자동형 주기는 어떻게 행동하는가? 그리고 무한대 자리에서 분해될 수 있는가?
• RQ5 표현 $\Pi$의 자동형 주기와 그 기저 변경 $\pi$ 사이의 함수적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 자동형 형태의 Deligne 추측은 $n'=1$일 때, $\Pi'$가 켤레 자기쌍대인지 여부에 관계없이 증명된다.
• $n>n'$ 이면서 $n$과 $n'$의 짝수성이 다를 때, 그리고 $-b_j$가 $a_i$ 사이의 서로 다른 갭에 위치할 경우 추측이 성립한다.
• $m=1$ 이며 $n$과 $n'$의 짝수성이 동일할 경우 추측이 검증된다.
• 자동형 주기는 무한대 자리를 통해 분해되며, Shimura의 추측을 일반화하고 CM 체로의 확장을 가능하게 한다.
• 기저 변경 하에 자동형 주기의 함수적 성질이 확립되었으며, $L$ 상의 $\Pi$와 $F$ 상의 기저 변경된 $\pi$ 사이의 주기 간 명시적 관계가 도출된다.
• 모티빅스 주기와 자동형 주기를 동일시할 경우, 자동형 주기와 $L$-값 사이의 추측적 관계가 Deligne 추측의 예측과 정확히 일치함을 보였다.