[논문 리뷰] An efficient algorithm for numerical homogenization of fluid filled porous solids: part-I

Saumik Dana, Mary F. Wheeler|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 03.

Composite Material Mechanics인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유체로 채워진 다공성 고체의 수치 균질화를 위해 $FE^{2}$ 기반의 효율적인 알고리즘을 제안한다. 이는 거시 체적 유한 요소 분석과 대표 요소 부위(RVE) 계산을 결합한다. 유체 상에 대해 연속적인 변위장(field)을 도입하고, RVE에 주기적 경계 조건을 적용하여 에너지 등가성을 확보함으로써, 정확한 거시 체적 탄성거동 및 제1 피ولا-크리프스 응력의 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The concept of representative volume element or RVE is invoked to develop an algorithm for numerical homogenization of fluid filled porous solids. RVE based methods decouple analysis of a composite material into analyses at the local and global levels. The local level analysis models the microstructural details to determine effective properties by applying boundary conditions to the RVE and solving the resultant boundary value problem. The composite structure is then replaced by an equivalent homogeneous material having the calculated effective properties. We combine the features of two techniques: one is the definition of a displacement field for the fluid phase to allow for a definition of a continuous displacement field across the microstructure and the other is the $FE^2$ numerical homogenization that couples the macroscale with the RVE scale via gauss points.

연구 동기 및 목표

• 유체와 고체 상이 미세 체적에서 공존하는 유체로 채워진 다공성 고체에 대해 강건한 수치 균질화 프레임워크를 개발하는 것.
• 고체 변위와 유체 속도 사이의 차원 불일치 문제를 해결하기 위해 유체 상에 대해 연속적인 변위장을 정의하는 것.
• 히ll-만델 조건을 만족하는 주기적 경계 조건을 통해 거시 체적 문제와 RVE 체적 문제 간의 에너지 일致성을 확보하는 것.
• 고정 응력 분할 전략을 피하기 위해 RVE 수준에서 연성된 유체-기계적 시스템을 단일 해법으로 해결할 수 있도록 하는 것.
• 거시 체적 유한 요소 분석에 사용하기 위해 RVE 수준의 해를 바탕으로 균질화된 거시 체적 탄성거동과 제1 피iola-크리프스 응력을 계산하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 $FE^{2}$ 프레임워크를 활용하며, 거시 체적 유한 요소 메esh의 각 가우스 점에 대해 RVE가 할당된다.
• 고체 상과 유체 상 모두에 대해 변위 기반의 수식을 사용하여 미세 구조 전반에 걸쳐 변위장의 연속성을 보장한다.
• 스케일 분리를 위해 거시 체적 변형률 텐서 $\mathbf{F}_M$ 과 압력 기울기 $\nabla_X\tilde{p}$ 를 사용하여 RVE에 주기적 경계 조건을 적용한다.
• 고체와 유체의 자유도가 결합된 혼합 유한 요소 수식을 사용하여 RVE 수준의 방정식계를 해결하며, 이는 행렬식 $\begin{bmatrix}\mathbf{K}_{uu}&\mathbf{K}_{up}\\ \mathbf{K}_{pu}&\mathbf{K}_{pp}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\delta\mathbf{u}\\ \delta p\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\delta\mathbf{f}_s\\ \delta\mathbf{f}_p\end{Bmatrix}$ 를 유도한다.
• 균질화된 제1 피iola-크리프스 응력은 체적 평균 경계 응력에 의해 계산되며, $\delta\mathbf{P}_{s_M} = \frac{1}{|\Omega_s|}\sum_{i=1}^4 \delta\mathbf{f}_s^{(i)} \otimes \mathbf{X}^{(i)}$ 로 표현되며, 유체 상에 대해서도 유사한 식이 적용된다.
• 최종적으로, 거시 체적 탄성거동 행렬 $\mathbf{K}_M$ 은 RVE 수준의 반응에서 유도되어 거시 체적 뉴턴-라프슨 반복 과정에서 변형률 텐서를 업데이트하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다공성 미세 구조에서 고체 상과 유체 상에 대해 일관된 변위장을 정의하여 단일 해법 기반의 균질화를 가능하게 할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 거시 체적과 미세 체적 간의 에너지 등가성을 보장하고 힐-만델 조건을 만족시키기 위해 RVE에 적용할 수 있는 경계 조건은 무엇인가?
• RQ3 유한 요소 기반의 이중 스케일 접근법을 사용하여 유체로 채워진 다공성 고체의 연성된 유체-기계적 거동을 효율적으로 균질화하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 주기적 경계 조건이 거시 체적 모델의 정확하고 대표적인 효과적 물성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 RVE 수준의 방정식계를 어떻게 수립하여 균질화된 거시 체적 탄성거동과 제1 피iola-크리프스 응력을 효율적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 RVE 수준에서 고체-유체 문제를 단일 해법으로 해결함으로써 고정 응력 분할 전략에서 발생하는 수렴 문제를 피할 수 있다.
• RVE에 적용된 주기적 경계 조건은 힐-만델 조건을 만족함으로써 스케일 간 에너지 등가성을 보장한다.
• 유체 상에 대해 변위장을 도입함으로써 미세 구조 전반에서 일관된 운동학적 기술이 가능해지며, 고체 변위와 유체 속도 간의 차원 불일치 문제를 해결한다.
• 균질화된 제1 피iola-크리프스 응력은 체적 평균 경계 응력에 의해 계산되며, RVE 수준의 힘과 기하학적 요소에 기반한 명시적 식이 유도되었다.
• 거시 체적 탄성거동 행렬 $\mathbf{K}_M$ 은 증분 변형률 텐서와 압력 기울기를 사용하여 RVE 수준의 반응에서 유도되어 거시 체적 문제에서 일관된 유한 요소 업데이트를 가능하게 한다.
• 알고리즘 프레임워크는 기존의 유한 요소 코드에 효율적으로 통합될 수 있도록 구성되어 있으며, 거시 체적 뉴턴-라프슨 반복 과정 동안 각 가우스 점에서 RVE 계산이 수행된다.