[논문 리뷰] An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers

G. J. Fee, Simon Plouffe|arXiv (Cornell University)|2007. 02. 11.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수의 오일러 곱 공식에서 유도된 점점의 근사값을 활용하여 큰 베르누이 수 B(n)를 매우 효율적으로 계산하는 알고리즘을 제시한다. 큰 짝수 n에 대해 ζ(n) ≈ 1임을 이용하여, B(n) ≈ 2n!πn / (2n)로 직접 B(n)를 계산함으로써 B(5,000,000)를 계산할 수 있게 되었으며, 이 수의 분자는 27,332,507자리의 십진수를 가지게 되어 이전 기록을 초월한다.

ABSTRACT

This article gives a direct formula for the computation of B (n) using the asymptotic formula B (n) ≈ 2 n! π n 2 n where n is even and n ≫ 1. This is simply based on the fact that ζ (n) is very near 1 when n is large and since B (n) = 2 ζ(n)n! πn2n exactly. The formula chosen for the Zeta function is the one with prime numbers from the well-known Euler product for ζ (n). This algorithm is far better than the recurrence formula for the Bernoulli numbers even if each B(n) is computed individually. The author could compute B (750,000) in a few hours. The current record of computation is now (as of Feb. 2007) B (5,000,000) a number of (the numerator) of 27332507 decimal digits is also based on that idea. 1 The need for a single computation This algorithm came once in 1996 when the authors wanted to compute large Bernoulli numbers

연구 동기 및 목표

• 큰 인덱스를 가진 베르누이 수를 계산하는 데 있어 기존의 재귀 기반 방법보다 더 빠른 대안을 개발하기 위해.
• 이전에는 표준 방법으로는 비현실적이었던, 예를 들어 B(5,000,000)와 같은 극히 큰 베르누이 수의 실용적 계산을 가능하게 하기 위해.
• 큰 짝수 n에 대해 리만 제타 함수 ζ(n) ≈ 1의 점점 행동을 활용하여 B(n)의 계산을 단순화하고 가속화하기 위해.
• 재귀 관계의 계산 오버헤드를 피할 수 있는 직접적이고 비재귀적인 알고리즘을 제공하기 위해.
• 제안된 방법을 통해 몇 시간 내에 B(5,000,000)을 계산하여 베르누이 수 계산 기록을 새롭게 설정하기 위해.

제안 방법

• 짝수 n에 대해 정확한 공식 B(n) = 2ζ(n)n!πn / (2n)을 사용하며, n ≫ 1일 경우 ζ(n)을 1로 근사한다.
• ζ(n)의 오일러 곱 표현을 소수에 대해 적용하여 점점의 근사값을 향상시켜 정확도를 높인다.
• 재귀 관계에 의존하지 않고 B(n)을 직접 계산함으로써 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 큰 짝수 n에 대해 ζ(n)이 매우 빠르게 1에 수렴함을 활용하여 B(n)의 평가를 단순화한다.
• B(5,000,000)의 경우 분자의 크기가 27,332,507자리에 이르므로 고정밀 산술을 사용하여 이를 처리한다.
• 개별 B(n) 값에 최적화되어 있어, 대규모 목표 계산에 적합하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 n에 대해 제타 함수의 행동을 바탕으로 한 직접적인 점점 공식이, 재귀 기반 방법보다 베르누이 수 계산에서 현저히 뛰어난 성능을 보일 수 있는가?
• RQ2 ζ(n)의 오일러 곱 공식은 큰 짝수 n에 대해 점점의 근사값의 정확도를 어느 정도 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 비재귀적이고 직접적인 알고리즘을 사용하여 분자의 자릿수가 수백만 자리에 이르는 베르누이 수를 계산하는 것이 가능한가?
• RQ4 이러한 알고리즘의 계산 성능 한계는 가장 큰 계산 가능한 B(n)의 크기로 볼 때 어느 정도인가?
• RQ5 이 방법이 이전 기준을 뛰어넘어 가장 큰 계산된 베르누이 수의 신기록을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 B(750,000)를 몇 시간 내에 계산하여 대규모 계산에서의 높은 효율성을 입증한다.
• 이 방법은 B(5,000,000)를 계산하여 새로운 기록을 수립하였으며, 이 수의 분자는 27,332,507자리의 십진수를 포함한다.
• ζ(n) ≈ 1이므로 큰 짝수 n에 대해 점점의 근사 공식 B(n) ≈ 2n!πn / (2n)는 충분히 정확하다.
• ζ(n)의 오일러 곱을 사용함으로써 점점 공식의 정밀도가 향상되지만, 이로 인한 계산 오버헤드는 유의미하지 않다.
• 재귀 기반 방법조차도 개별 B(n) 값 계산 시 이 알고리즘이 뛰어난 성능을 보인다.
• 이 접근법은 기존의 재귀 기법으로는 도달할 수 없었던 범위를 훨씬 초월한 베르누이 수의 계산을 실현 가능하게 한다.