[논문 리뷰] An Efficient Polynomial Time Approximation Scheme for Minimizing the Total Weighted Completion Time on Uniformly Related Machines

Leah Epstein, Asaf Levin|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 03.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동일한 속도를 가진 기계가 아닌 균일 관련 기계에서 총 가중 완료 시간을 최소화하기 위한 효율적인 다항시간 근사 스킴(EPTAS)을 제시한다. 이는 도착 시간이 있는 경우와 없는 경우를 모두 포함한다. 저자들은 시간 스트레칭, 구성 기반 동적 프로그래밍, 그리고 정교한 작업 그룹화를 활용한 새로운 근사 프레임워크를 설계하여, f(1/ε)·poly(n) 시간 내에 (1+ε)-근사 해를 달성한다. 이는 이 강한 NP-난해한 스케줄링 문제에 대해 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study classic scheduling problems on uniformly related machines. Efficient polynomial time approximation schemes (EPTAS's) are fast and practical approximation schemes. New methods and techniques are essential in developing such improved approximation schemes, and their design is a primary goal of this research agenda. We present EPTAS's for the scheduling problem of a set of jobs on uniformly related machines so as to minimize the total weighted completion time, both for the case with release dates and its special case without release dates. These problems are NP-hard in the strong sense, and therefore EPTAS's are the best possible approximation schemes unless P=NP. Previously, only PTAS's were known for these two problems, while an EPTAS was known only for the special case of identical machines without release dates.

연구 동기 및 목표

• 균일 관련 기계에서 총 가중 완료 시간을 최소화하는 데 효율적인 다항시간 근사 스킴(EPTAS)을 개발하는 것. 이는 강한 NP-난해 문제이다.
• 이전에 알려진 유일한 EPTAS였던 동일 기계의 특수 케이스를 넘어 일반적인 균일 관련 기계로 EPTAS를 확장하는 것.
• 도착 시간이 있는 경우와 없는 특수 케이스를 모두 다루는 것. 이 두 경우 모두 강한 NP-난해하다.
• 기존의 실행 시간이 비현실적인 PTAS보다 향상된 실용적이고 빠른 근사 스킴을 설계하는 것.

제안 방법

• 시간 스트레칭을 (1+δ) 배수로 적용하여 스케줄을 구성 기반 동적 프로그래밍에 적합한 형태로 변환한다.
• 작업들을 크기와 도착 시간에 따라 구성으로 그룹화하고, 기계 간 구성 조합의 타당성을 탐색한다.
• 가상 스케줄을 구성하여 작업의 할당을 안내하며, 작업 재할당과 시간 간격 조정으로 인한 비용 증가에 대한 정밀한 경계를 설정한다.
• 소규모 작업을 제거하는 사전 처리 단계를 적용하고 나중에 재할당하여 비용 증가를 제한한다.
• 기계의 희박하지 않은 시간 간격과 희박한 시간 간격을 구분하고, 각각에 대해 다른 비용 분석 기법을 적용한다.
• 최종 해는 부분 스케줄을 조합하고, 미할당된 작업들을 전용 기계(‘粉색 기계’)에 할당함으로써 구성되며, δ-파rameter를 사용하여 총 비용 증가를 경계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 NP-난해함에도 불구하고, 도착 시간이 있는 균일 관련 기계에서 총 가중 완료 시간 문제에 대해 EPTAS를 설계할 수 있는가?
• RQ2 이 문제에 대해 f(1/ε)·poly(n) 시간 내에 (1+ε)-근사 해를 달성할 수 있는가? 이는 기존의 PTAS를 향상시킨다.
• RQ3 구성 제약과 시간 간격 조정으로 인한 작업 재할당 시 비용 증가를 어떻게 경계할 수 있는가?
• RQ4 오차가 유한한 구성 기반 동적 프로그래밍을 설계하기 위해 최적 해의 어떤 구조적 성질을 활용할 수 있는가?
• RQ5 남은 작업들을 스케줄링할 때 '粉색 기계' 기법을 효과적으로 사용하여 (1+ε)-근사 해를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 도착 시간이 있는 균일 관련 기계에서 총 가중 완료 시간 문제에 대해 EPTAS를 제시하며, f(1/ε)·poly(n) 시간 내에 (1+ε)-근사 해를 달성한다.
• 알고리즘은 최적 해의 비용보다 최대 (1+δ)^3 배의 비용을 발생시키며, 여기서 δ = ε/3 이다. 이는 (1+ε)-근사 해를 의미한다.
• 작업 재할당과 시간 스트레칭으로 인한 총 비용 증가는 (1+δ)^3 요소로 경계되며, δ = ε/3 이면 이는 최대 (1+ε) 이다.
• 미할당된 작업은 전용 기계(‘粉색 기계’)에 할당될 수 있으며, 이는 비용 경계를 초과하지 않도록 보장한다. 그 이유는 미할당된 작업의 총 크기가 ‘粉색 기계’의 속도의 δ^5 배 이하이기 때문이다.
• 희박하지 않은 기계의 경우, 작업 크기 조정으로 인한 비용 증가는 (1+δ)(1+δ^13) 요소로 경계되며, 이는 총괄적인 (1+δ)^3 요소에 포함된다.
• 이 프레임워크는 이전에 EPTAS가 알려져 있지 않았던 균일 관련 기계에 대한 일반적인 케이스로 EPTAS를 성공적으로 확장하였다.