[논문 리뷰] An Efficient Quantum Factoring Algorithm

Oded Regev|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

논문은 N의 n비트를 인수분해하기 위해, √n + 4 독립적인 양자 회로를 각각 ~O(n^{3/2}) 크기로 사용한 뒤, 다항 시간의 고전적 포스트 처리로 인수분해를 수행하는 인수분해 방법을 제시한다.

ABSTRACT

We show that $n$-bit integers can be factorized by independently running a quantum circuit with $ ilde{O}(n^{3/2})$ gates for $\sqrt{n}+4$ times, and then using polynomial-time classical post-processing. The correctness of the algorithm relies on a number-theoretic heuristic assumption reminiscent of those used in subexponential classical factorization algorithms. It is currently not clear if the algorithm can lead to improved physical implementations in practice.

연구 동기 및 목표

• Shor의 알고리즘을 넘어선 인수분해를 위한 양자 회로 크기 축소의 필요성과 정확성을 유지하는 휴리스틱 격자 기반 접근법의 동기 부여.
• 고전적 격자 축소를 결합한 양자 샘플링과 이차원 이상 공간의 다중 차원 양자 인수분해 프레임워크를 제안하여 요인을 추출한다.
• 양자 회로 크기, 재실행 수, 고전적 포스트 처리 시간 간의 자원 트레이드오프를 분석한다.

제안 방법

• L와 L0의 다차원 격자와 부분 격자를 구성하여 N에 대한 제곱근으로 인수를 설정한다.
• 노이즈가 있는 이중 격자 L*의 이산화된 버전에서 양자 절차를 사용해 샘플링하고 양자 푸리에 변환으로 이중 격자 벡터의 근사치를 얻는다.
• 노이즈 샘플에서 비자명한 N의 인수를 복원하기 위해 고전적 격자 축소(LLL)와 포스트 처리 격자 구성을 적용한다.
• d = √n 및 R = exp(C√n)일 때 양자 회로 크기가 ~O(n^{3/2})이고 네 번의 추가 격자 기반 축소가 충분하며, 이를 √n+4회 반복한다.
• 슈퍼다항적 고전 포스트 처리로 양자 비용을 ~O(n^{3/2−ε})로 감소시킬 수 있는 경로를 제시하되, 이는 exp(O(n^{2ε}))의 고전적 시간 비용을 따른다.
• 격자 기반 암호가 고전적으로 깨진다면 거의 선형 크기 ~O(n)의 양자 회로로 인수분해가 가능할 수 있다며, 그런 경우를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 차원 격자 기반 접근법과 양자 샘플링을 결합해 Shor와 유사한 인수를 크게 양자 회로 깊이를 줄여 구현할 수 있는가?
• RQ2 고정된 크기의 양자 회로를 반복적으로 독립적으로 적용하고 다항 시간의 고전적 포스트 처리로 N의 비자명한 인수를 안정적으로 얻을 수 있는가(격자 이론적 휴리스틱 하에서)?
• RQ3 양자 회로 크기, 회로 반복 횟수, 그리고 인수분해를 위한 고전적 포스트 처리의 복잡도 사이의 정밀한 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 L L0에서 짧은 벡터의 존재에 대한 휴리스틱 가정과 양자 샘플링 과정의 노이즈에 대해 알고리즘의 강건성은 어느 정도인가?

주요 결과

• N의 인수분해는 n^{3/2} 크기의 양자 회로를 √n + 4회 실행하고 다항 시간의 고전적 포스트 처리를 수행함으로써 달성될 수 있다.
• L L0의 노드(norm이 exp(O(√n))인 짧은 벡터가 존재한다는 휴리스틱 가정 하에서 알고리즘은 N을 인수분해한다.
• 고전적 포스트 처리는 격자 축소를 사용해 N의 비자명한 인수를 높은 확률로 제공하는 벡터를 복원한다.
• 고전적 포스트 처리의 비용이 exp(O(n^{2ε}))인 경우, 양자 비용은 0 < ε ≤ 1/2에 대해 ~O(n^{3/2−ε})로 감소할 수 있으며, 이는 초다항적 고전 처리 비용의 대가이다.
• 격자 기반 암호가 고전적으로 깨진다면 거의 선형 크기 ~O(n)의 양자 회로로 인수분해가 충분할 수 있다.
• 해석은 점근적이며 실용적 효율성은 숨겨진 상수 및 하드웨어 특성에 좌우된다.