[논문 리뷰] An elementary proof of the Vigdergauz equations for a class of square symmetric structures

Dag Lukkassen, Annette Meidell외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 28.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기본 미적분 정리만을 사용하여, 더 넓은 범위의 정방형 대칭, 주기적으로 구멍이 뚫린 탄성 구조물에 대해 비그더가우즈 방정식의 간단한 증명을 제시한다. 효과적인 탄성 모oduli $K^*$, $G^*$, $G^*_{45}$가 국소적 모oduli $K$, $G$ 및 기하학적 상수 $A_1$, $A_2$, $A_3$의 기본 함수로 분리됨을 입증하며, 이 기하학적 상수들은 주기 세포의 기하학에만 의존한다. 이는 이전 결과를 매끄럽고 단일 구멍이 있는 세포를 초월하여 일반화한 것이다.

ABSTRACT

For a periodically perforated structure, for which homogenization takes place in the linear theory of elasticity, the components of the effective elasticity tensor depend in general on the geometry of the holes as well as on the local elastic properties. These dependencies were shown by Vigdergauz in [7] to be separated in an elementary way for one particular class of structures. The original proof of this relation made use of the lattice approach to describe periodic functions using complex variables. In this paper we present a proof of the so-called Vigdergauz equations for a related class of square symmetric structures. Our proof relies solely on the fundamental theorem of real variable calculus. The differences between the two mentioned classes of structures are nontrivial which makes our result a partial generalization as well.

연구 동기 및 목표

• 이전에 매끄럽고 단일 구멍이 있는 주기적 구조물에 대해 유도된 비그더가우즈 방정식을 더 넓은 범위의 정방형 대칭, 주기적으로 구멍이 뚫린 탄성 재료로 확장하는 것.
• 복소해석학이나 격자 방법을 피하고 실변수 미적분학의 기본 정리에만 의존하는 증명을 제공하는 것.
• 리프시츠 연속 경계와 횡방향 선분을 가진 구조물에 대해 효과적인 탄성 모oduli가 국소적 재료 특성과 기하학적 상수로 분리됨을 입증하는 것.
• 효과적인 탄성 텐서의 정의성에 기반해 기하학적 상수 $A_1$, $A_2$, $A_3$의 음이 아닌 성질을 검증하는 것.
• 주기 세포에 다수의 구멍이 있거나 매끄럽지 않은 경계를 가질 경우에도 유도된 관계식이 성립함을 보여 이전 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 증명은 주기 세포를 관통하는 수평 및 수직선을 따라 응력과 변형률 성분을 통합하는 데 기본 미적분 정리를 사용하며, 주기성과 대칭성을 활용한다.
• 세포 내 좌표축에 평행한 선분이 구멍을 피할 수 있도록 가정하여 $x$와 $y$ 방향으로 독립적으로 통합할 수 있도록 한다.
• 평균 응력과 변형률 성분은 주기성과 선형 탄성의 바이틀 표기법을 통해 국소적 모oduli와 효과적 모oduli를 연결한다.
• 변형률-변위 관계를 통합하고 주기적 경계 조건을 적용함으로써 효과적 연성 행렬 성분의 표현식을 유도한다.
• 기하학적 상수 $A_1$, $A_2$, $A_3$는 세포 경계를 따라 응력 도함수의 적분으로 나타나며, 이는 세포의 기하학과 직접적으로 연결된다.
• 효과적 연성 행렬의 고유값이 양수임을 보여 효과적 텐서의 정의성에 기반해 $A_1$, $A_2$, $A_3$의 음이 아닌 성질을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소해석학이나 격자 이론을 사용하지 않고 실변수 미적분학만으로 비그더가우즈 방정식을 증명할 수 있는가?
• RQ2 다중 구멍이나 비매끄러운 경계를 가진 구조물에 대해서도 효과적인 탄성 모oduli가 국소적 특성과 기하학적 상수로 분리되는가?
• RQ3 기하학적 상수 $A_1$, $A_2$, $A_3$는 정방형 대칭 구조에서 주기 세포의 형태와 구멍 배치에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 일반화된 비그더가우즈 방정식에서 기하학적 상수의 음이 아닌 성질을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 주기 세포를 45도 각도로 가로질러 구멍에 교차하지 않는 선분이 존재하지 않을 경우에도 방정식의 형태를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 효과적인 체적 모oduli는 $\frac{1}{K^*} = \frac{1}{K} + A_1\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$를 만족하며, $A_1$은 주기 세포의 기하학에만 의존한다.
• 효과적인 전단 모oduli는 $\frac{1}{G^*} = \frac{1}{G} + A_2\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$를 만족하며, $A_2$는 세포 적분으로 유도된 기하학적 상수이다.
• 효과적인 횡방향 전단 모oduli는 $\frac{1}{G^*_{45}} = \frac{1}{G} + A_3\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$를 만족하며, $A_3$는 세포의 기하학에 의해 결정된다.
• 기하학적 상수 $A_1$, $A_2$, $A_3$는 효과적 탄성 텐서의 정의성에 기반해 음이 아니며, 연성 행렬의 고유값이 양수임을 통해 확인된다.
• 매끄럽지 않거나 다중 구멍이 있는 경우에도 원래 비그더가우즈 결과를 일반화하여, 리프시츠 연속 경계와 다중 구멍이 있는 경우에도 방정식이 성립함을 입증한다.
• 복소해석학을 피하고 기본 미적분 정리와 주기성에만 의존하므로 유도 과정이 더 간단하고 광범위하게 적용 가능하다.