[논문 리뷰] An elliptic sequence is not a sampled linear recurrence sequence

Florian Luca, Thomas Ward|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 25.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ℚ$ 위의 타원곡선에서 비 torsion 유리점의 배수의 분모에서 유도된 정수열 $(z_n)$이 어떤 정수 선형 재귀수열의 제곱 인덱스 항들과도 결국 일치할 수 없다는 것을 증명한다. 디오판틴 및 $p$-진 방법을 사용하여, 타원의 나누기 수열의 고유한 이차 지수적 성장과 산술적 구조는 선형 재귀수열의 선형 지수적 성장과 근본적으로 다름을 보이며, 제곱 인덱스로 샘플링한 경우조차도 그렇다.

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over the rationals and in minimal Weierstrass form, and let $P=(x_1/z_1^2,y_1/z_1^3)$ be a rational point of infinite order on $E$, where $x_1,y_1,z_1$ are coprime integers. We show that the integer sequence $(z_n)$ defined by $nP=(x_n/z_n^2,y_n/z_n^3)$ for all $n\ge 1$ does not eventually coincide with $(u_{n^2})$ for any choice of linear recurrence sequence $(u_n)$ with integer values.

연구 동기 및 목표

• 타원의 나누기 수열(EDS)이 선형 재귀수열(LRS)의 샘플링된 항으로서 실현될 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 비 torsion 유리점 $P$에 대해 $nP$의 분모로 정의된 수열 $(z_n)$이 어떤 정수 선형 재귀수열 $(u_n)$의 $(u_{n^2})$과도 결국 일치하지 않음을 입증하기 위해.
• 타원의 나누기 수열의 내재된 산술적 성질과 성장 특성—이차 지수적 성장과 나눗셈 구조—가 어떤 선형 재귀수열조차도 제곱 인덱스로 샘플링한 경우에도 복제될 수 없음을 보여주기 위해.
• 두 가지 다른 증명을 제공하기 위해: 하나는 $S$-단위 방정정식과 행렬식의 0이 아닌 성질에 기반한 디오판틴 증명이며, 다른 하나는 헨젤의 보조정리와 소수 이상수에 대한 환원을 사용한 $p$-진 증명이다.
• 특히 타원의 나누기 수열과 선형 재귀수열 사이의 구조적 비등가성을 강화하기 위해, $(z_{\ell n})$과 같은 부분수열조차도 선형 재귀수열의 재귀 성질을 만족하지 못함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 일부 행렬식의 0이 되는 것을 가정할 경우 유한한 해를 갖는 $S$-단위 방정정식에 기반한 디오판틴 접근을 사용하여, 선형 재귀수열이 요구하는 무한한 구조와 모순됨을 보임.
• 소수 이상수 $π$를 모듈로로 환원하여 $p$-진 분석을 적용하고, 소수 이상수에서의 행렬식의 0이 아닌 성질을 이용해 행렬식 항등식을 통해 모순을 도출함.
• 헨젤의 보조정리를 활용하여 $r$ 모듈로에서의 해를 $L/N$ 모듈로로 올려, 핵심 합동 조건을 만족하는 적절한 $\ell_j$를 구성함.
• 수체에서의 방정정식 시스템의 비퇴화성 조건을 이용하여, 선형 재귀수열의 존재를 가정할 경우 모듈로 $π$에서의 방정정식 시스템이 반복된 근이나 1과 같은 근을 가져야 함을 강제하여 모순을 유도함.
• 선형 재귀수열의 특성다항식을 다루고, 지배적인 근의 중복도를 분석하여 성장 행동이 일치할 수 없음을 제거함.
• 표준 높이 $c$가 $ℎ z_n \sim c n^2$의 이차 지수적 성장을 지배하며, 이는 선형 재귀수열의 $|u_n| \sim C^n n^k$ 성장과 본질적으로 불일치함을 이용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비 torsion 유리점이 $ℚ$ 위의 타원곡선에 대해 정의된 $nP$의 분모로 유도된 수열 $(z_n)$이 어떤 정수 선형 재귀수열의 제곱 인덱스 항들과도 결국 일치할 수 있는가?
• RQ2 EDS의 이차 지수적 성장과 LRS의 선형 지수적 성장 간의 상이한 성장률이, 조차도 샘플링을 거쳐도 결국 일치를 방해하는가?
• RQ3 Zsigmondy 성질이나 나눗셈 행동과 같은 구조적 산술적 장애물이 EDS가 선형 재귀수열의 샘플링을 통해 임베딩되는 것을 방지하는가?
• RQ4 선형 재귀수열의 재귀 성질을 모방할 수 없음을 증명하기 위해 $p$-진 또는 디오판틴 기법을 사용할 수 있는가, 심지어 제곱 인덱스로 재인덱싱한 경우에도?
• RQ5 선형 재귀수열 $(u_n)$에 대해 $z_n = u_{n^2}$를 가정할 경우, 수체 위의 행렬 시스템에서 일부 소수 이상수에서의 행렬식이 0이 아니면 모순이 발생하는가?

주요 결과

• 비 torsion 유리점의 배수의 분모에서 유도된 수열 $(z_n)$은 어떤 정수 선형 재귀수열 $(u_n)$의 제곱 인덱스 항 $(u_{n^2})$과도 결국 일치하지 않는다.
• 디오판틴 증명은 그러한 일치를 가정할 경우 유한한 해를 갖는 $S$-단위 방정정식이 도출되며, 이는 수열이 무한해야 한다는 조건과 모순됨을 보여준다.
• $p$-진 증명은 소수 이상수 $π$에 대한 환원, 헨젤의 보조정리, 행렬식의 0이 아닌 성질을 사용하여, 그러한 재귀수열의 존재를 가정할 경우 모순을 도출한다.
• 모듈로 $π$에서의 방정정식 시스템이 반복된 근이나 1과 같은 근을 가져야 한다는 사실이 비퇴화 조건을 위반함으로써 모순이 발생한다.
• 부분수열 $(z_{\ell n})$을 고려할 경우에도 결과는 그대로 성립하며, 이 부분수열도 여전히 EDS이므로 어떤 선형 재귀수열의 재귀 성질도 만족하지 못한다.
• 점 $P$의 표준 높이 $c$는 $ℎ z_n \sim c n^2$의 성장을 지배하며, 이는 선형 재귀수열의 $|u_n| \sim C^n n^k$ 성장과 본질적으로 불일치한다.