[논문 리뷰] An Embedded Boundary Method for Two Phase Incompressible Flow

Shuqiang Wang, James Glimm외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 19.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 표면장력으로 인한 점프 조건을 정확히 포착하기 위해, 조각상수 밀도를 가진 두상 불압축성 유동을 위한 제2차 정확도를 갖는 임bedded boundary method(EBM)를 제시한다. 경계 추적 기법을 사용하여 상의 경계를 추적하고, 표면장력으로 인한 점프 조건을 갖는 타원형 경계 문제를 통해 압력 투영 단계를 해결한다. 이 방법은 제2차 정확도를 확보하며, 직각좌표계와 원통좌표계에서 공기방울 진동 및 코우에트 흐름 시뮬레이션을 통해 검증된다.

ABSTRACT

We develop an embedded boundary method (EBM) to solve the two-phase incompressible flow with piecewise constant density. The front tracking method is used to track the interface. The fractional step methods are used to solve the incompressible Navier-Stokes equations while the EBM is used in the projection step to solve an elliptic interface problem for the pressure with a jump equal to the surface tension force across the interface. Several examples are used to verify the accuracy of the method.

연구 동기 및 목표

• 표면장력으로 인한 점프 조건을 정확히 포착할 수 있는 두상 불압축성 유동을 위한 날카운 경계 방법을 개발하기 위해.
• 밀도가 불연속적인 상황에서 나비에-스토크스 방정식의 투영 단계에서 발생하는 타원형 경계 문제를 해결하기 위해 임베디드 경계 방법(EBM)을 확장하기 위해.
• 제조된 해법과 물리적 시험 케이스를 사용하여, 직각좌표계와 원통좌표계에서 이 방법의 제2차 정확도를 입증하기 위해.
• 복잡한 상호작용 유동, 특히 높은 속도의 코우에트 혼합과 복잡한 경계 구조를 가진 시뮬레이션을 안정적으로 수행할 수 있도록 하기 위해.
• 미래에 점탄성계수 불연속성 및 다상 자기유체역학에의 확장을 위한 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 나비에-스토크스 방정식을 중간 속도와 압력 보정 단계로 분리하기 위해 투영 방법을 사용한다.
• 투영 단계에서 압력에 대한 타원형 경계 문제를 해결하기 위해 임베디드 경계 방법(EBM)을 적용하며, 표면장력으로 인한 점프 조건을 포함한다.
• 물질 경계를 명시적으로 추적하고 법선 벡터 및 곡률과 같은 기하적 성질을 계산하기 위해 경계 추적 기법을 사용한다.
• 유한체적 방법을 사용하여 점프 조건을 이산화하고, 경계 기하학에 기반한 유량을 재구성한다.
• 직각좌표계에서의 EBM를 원통좌표계로 확장하기 위해 유한차분 스킴과 반경 및 각도 방향의 기하학적 성질 계산을 수정한다.
• 원통좌표계에서 타원형 경계 문제에 대한 EBM의 제2차 정확도를 검증하기 위해 제조된 해법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임베디드 경계 방법은 표면장력이 있는 두상 불압축성 유동에서 발생하는 타원형 경계 문제에 대해 제2차 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 다양한 메쉬 해상도에서 중력이 없는 조건에서 2D 및 3D 공기방울 진동을 시뮬레이션할 때 EBM의 성능은 어떠한가?
• RQ3 EBM는 축대칭 기하구조에서 타원형 경계 문제를 해결하기 위해 원통좌표계로 성공적으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 한 셀당 여러 번의 경계 교차를 포함하는 고속 코우에트 흐름과 같이 시간에 따라 변화하는 복잡한 경계를 다룰 때 EBM의 안정성은 어떠한가?
• RQ5 점탄성계수의 점프 조건을 생략할 경우 해의 정확도에 어떤 영향을 미치며, 향후 확장에 있어 이는 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 메쉬 정밀도 분석을 통해 원통좌표계에서 타원형 경계 문제에 대해 EBM가 $L_1$, $L_2$, 및 $L_∞$ 노름에서 제2차 수렴을 보임을 확인하였다.
• 3D 공기방울 진동의 경우, $80^3$ 메쉬 해상도에서 이론적 주기 $T_2 = 2.222$에 대해 1.71% 오차로 수렴하였다.
• 2D 공기방울 진동의 경우, 방법은 표면장력 힘의 처리가 정확하게 반영되어 예상되는 진동 주파수를 높은 정확도로 재현하였다.
• 이 방법은 원통형 각도 영역에서 높은 속도의 두상 코우에트 흐름을 성공적으로 시뮬레이션하였으며, 셀당 256가지 가능한 경계 구성이 동시에 발생하는 복잡한 경계 역학을 포착하였다.
• 원통좌표계에서의 EBM 구현은 안정적이고 정확하였으며, 메쉬 정밀도를 높임에 따라 $L_∞$ 오차가 0.00018217에서 0.00000415로 감소하였다.
• 이 방법은 복잡한 경계 기하학을 다루는 데 있어 뛰어난 안정성을 보이며, 고밀도비를 가진 다상유동의 엔지니어링 스케일 시뮬레이션에 적합하다.