[논문 리뷰] An energy-based discontinuous Galerkin method for the wave equation with advection

Lu Zhang, Thomas Hagstrom외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 16.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 에너지 기반 비연속 갈레르킨(DG) 방법을 이용해 이동성을 포함한 파동 방정식을 다루며, 시간 및 공간 미분의 조합을 고려한 두 번째 변수를 도입한 혼합 형식을 사용하여 에너지 안정성을 유지한다. 이 방법은 구조적 격자에서 상류 유량을 사용할 경우 L² 노름에서 최적 수렴성을 확보하며, 메쉬에 의존하지 않는 매개변수 없이 초음속 및 마하수속 흐름 모두에서 에너지 안정성을 보장한다.

ABSTRACT

An energy-based discontinuous Galerkin method for the advective wave equation is proposed and analyzed. Energy-conserving or energy-dissipating methods follow from simple, mesh-independent choices of the inter-element fluxes, and both subsonic and supersonic advection is allowed. Error estimates in the energy norm are established, and numerical experiments on structured grids display optimal convergence in the $L^2$ norm for upwind fluxes. The method generalizes earlier work on energy-based discontinuous Galerkin methods for second order wave equations which was restricted to energy forms written as a simple sum of kinetic and potential energy.

연구 동기 및 목표

• 기존의 에너지 기반 DG 방법으로 직접 다룰 수 없는 이동성 있는 파동 방정식을 위한 안정적이고 고차수의 DG 방법을 개발한다.
• 메쉬에 의존하지 않는 단순한 요소 간 유량 선택(상류 또는 중심)을 통해 에너지 안정성을 확보하며, 상태 및 그 시간 도함수 외에 추가 변수를 도입하지 않는다.
• 이동성 항으로 인해 에너지 밀도가 분리되지 않는 문제에 대해 에너지 기반 DG 형식을 확장한다. 특히 항공음향학 및 유체-구조 상호작용에 관련된 문제에 유용하다.
• 에너지 노름에서 엄밀한 오차 추정치를 수립하고, 구조적 격자에서 상류 유량을 사용한 수치 실험을 통해 최적 수렴성을 입증한다.

제안 방법

• 이차 이동성 파동 방정식을 시간에 대한 일阶계 시스템으로 재구성하기 위해 혼합 변수 $ v = \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla u $ 를 도입한다.
• 연속 에너지 항등식과 일致하는 이산 에너지 형식 $ E_j^h = \int_{\Omega_j} \frac{1}{2}(v^h)^2 + \frac{c^2}{2}|\nabla u^h|^2 $ 을 정의한다.
• 요소 경계에서 수치적 유량을 사용한 약한 형식을 정의하여 이산 에너지 균형을 유지하며, 상류 유량은 모든 흐름 제도에서 에너지 안정성을 보장한다.
• 구조적 삼각형 또는 사각형 요소에서 $ u^h $ 와 $ v^h $ 에 대해 각각 차수 $ q $ 와 $ s $ 의 다항식 근사법을 적용한다.
• 적절한 시험 함수로 약한 형식을 시험하고, 추적 부등식 및 역 추정을 사용하여 유도된 항들을 유계로 제한함으로써 에너지 및 오차 추정치를 유도한다.
• 메쉬 크기에 의존하지 않는 상류 유량을 사용하여 초음속 및 마하수속 흐름을 처리하며, 이는 이동 벡터 $ \mathbf{w} $ 의 방향에 따라 유량 형식을 다르게 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 밀도에 시간-공간 도함수의 혼합 항이 포함된 이동성 파동 방정식에 대해 에너지 기반 DG 방법을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법은 메쉬에 의존하는 안정화 매개변수 없이 초음속 및 마하수속 이동성 흐름 모두에서 에너지 안정성을 보장하는가?
• RQ3 구조적 격자에서 상류 유량 대비 중심 유량의 경우 L² 노름에서의 수렴 속도는 어떠한가? 그리고 최적 수렴성을 달성하는가?
• RQ4 일차원 및 이차원 문제에서 다양한 경계 조건을 고려할 때 오차 추정치와 수렴 행동은 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 방법은 선형화된 항공음향학에서 유도되는 더 일반적인 정규 초월 시스템으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 상류 유량을 사용할 경우 주요 변수 $ u $ 에 대해 L² 노름에서 최적 수렴성을 확보하며, 다항식 차수 $ q $ 와 일致하는 수렴 속도를 보이며, 1차원 및 2차원 수치 실험으로서 확인된다.
• 중심 유량의 경우 에너지 노름에서 이론적 오차 추정치와 일致하여 수렴 속도가 한 차수 낮은 비최적 수렴을 보인다.
• 1차원에서는 상류 유량에 대해 최적 수렴성이 증명되었으며, 수치 결과는 $ u $ 에 대해 L² 노름에서 최적 수렴성을 보이며, 수렴 속도가 $ q+1 $ 근처임을 보였다.
• 2차원에서는 딜레르트 및 복사 경계 조건 하에서 $ u $ 와 $ v $ 의 수렴 속도가 주기적 문제에서 관측된 것과 매우 유사하며, $ q $ 가 홀수일 경우 $ u $ 는 $ q+1 $, $ v $ 는 $ q $ 에 수렴한다.
• 메쉬 크기에 의존하지 않는 단순한 유량 선택(상류 또는 중심)을 통해 에너지 안정성이 보장되며, 메쉬 크기에 따라 달라지는 페널티 매개변수를 필요로 하지 않는다.
• 이 형식은 이동 벡터 $ \mathbf{w} $ 의 방향에 따라 적응하는 상류 유량을 사용하여 초음속 및 마하수속 흐름을 동일하게 처리한다.