[논문 리뷰] An energy stable fourth order finite difference scheme for the Cahn-Hilliard equation

Kelong Cheng, Wenqiang Feng외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 17.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 장스티ン실 사차순 유한차분 공간 이산화와 인위적 정규화를 갖는 2차 BDF 시간 스킴을 사용하여 Cahn-Hilliard 방정식에 대해 2차 정확도를 가지며 에너지 안정적인 유한차분 스킴을 제안한다. 주요 기여는 푸리에 분석을 통한 엄밀한 이산 ℓ² 절삭 오차 분석으로, 정규성 요구 조건을 H⁶로 감소시켜 최적 수렴성을 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 노름에서 입증하고 고유한 해 존재성과 에너지 안정성을 확보한다.

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze an energy stable numerical scheme for the Cahn-Hilliard equation, with second order accuracy in time and the fourth order finite difference approximation in space. In particular, the truncation error for the long stencil fourth order finite difference approximation, over a uniform numerical grid with a periodic boundary condition, is analyzed, via the help of discrete Fourier analysis instead of the the standard Taylor expansion. This in turn results in a reduced regularity requirement for the test function. In the temporal approximation, we apply a second order BDF stencil, combined with a second order extrapolation formula applied to the concave diffusion term, as well as a second order artificial Douglas-Dupont regularization term, for the sake of energy stability. As a result, the unique solvability, energy stability are established for the proposed numerical scheme, and an optimal rate convergence analysis is derived in the $\ell^\infty (0,T; \ell^2) \cap \ell^2 (0,T; H_h^2)$ norm. A few numerical experiments are presented, which confirm the robustness and accuracy of the proposed scheme.

연구 동기 및 목표

• Cahn-Hilliard 방정식에 대해 향상된 공간 정확도를 갖는 고차수, 에너지 안정적인 수치 스킴을 개발한다.
• 테일러 전개 대신 푸리에 분석을 사용한 이산 ℓ² 절삭 오차 추정을 도입하여 해의 정규성 요구 조건을 감소시킨다.
• 인위적 정규화를 갖는 2차 시간 이산화에 대해 고유한 해 존재성과 에너지 안정성을 확립한다.
• ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 노름에서 최적 수렴 속도를 유도한다.
• 수치 실험을 통해 스킴의 강건성과 정확성을 입증한다.

제안 방법

• 장스티ン 사차순 유한차분 근사를 공간 이산화에 사용하며, 절삭 오차를 테일러 전개 대신 이산 푸리에 분석으로 분석한다.
• 2차 BDF 시간 스킴에 비선형 확산 항에 대한 2차 외삽법과 인위적 Douglas-Dupont 정규화 항을 조합하여 에너지 안정성을 확보한다.
• 이산 ℓ² 노름을 사용하여 절삭 오차를 추정함으로써, 전통적인 C⁶ 기준 대비 정규성 요구 조건을 감소시킨다(H⁶).
• 2D 및 3D에서 푸리에 스펙트럼 분석을 적용하여 절삭 오차 추정에서 앨리아싱 오차와 고유값을 제어한다.
• 이산 에너지 소산 법칙을 통해 에너지 안정성을 엄밀히 증명하고, 스킴의 구조에 기반한 고정점 정리로 고유한 해 존재성을 확립한다.
• 에너지 추정과 이산 소볼레프 부등식을 사용하여 에너지 추정을 통해 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 노름에서 최적 수렴성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장스티인 사차순 유한차분 스킴이 2차 시간 정확도를 갖는 Cahn-Hilliard 방정식에 대해 에너지 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 낮은 정규성 조건 하에서 장스티인 사차순 유한차분의 절삭 오차는 어떻게 분석할 수 있는가?
• RQ3 테일러 전개 대신 이산 푸리에 분석을 사용할 경우 시험 함수의 정규성 요구 조건에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 스킴에 대해 ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 노름에서 최적 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ5 기존 2차 정확도 스킴과 비교해 본다면, 제안된 스킴은 정확성과 강건성 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 시간에 대해 2차 정확도, 공간에 대해 4차 정확도를 가지며, ℓ∞(0,T;ℓ²) ∩ ℓ²(0,T;Hₕ²) 노름에서 최적 수렴성을 확보한다.
• H⁶ 정규성 조건 하에서 이산 ℓ² 노름에서 절삭 오차가 h⁴ 비례하는 상한선을 갖는다. 이는 전통적인 C⁶ 추정 대비 정규성 요구 조건을 감소시킨다.
• 이산 에너지 소산 법칙을 통해 에너지 안정성이 엄밀히 증명되어 물리적 에너지 감쇠 성질을 유지함을 보장한다.
• 스킴의 구조에 기반한 고정점 정리로 이산 시스템의 고유한 해 존재성이 확립된다.
• 이산 푸리에 분석 접근법은 2D 및 3D에서 앨리아싱 오차와 고유값 행동을 효과적으로 제어하여 ℓ² 절삭 오차 추정을 가능하게 하였다.
• 수치 실험을 통해 스킴의 강건성, 정확성 및 최적 수렴 속도가 2D 및 3D 모두에서 확인되었다.