[논문 리뷰] An enhanced formulation for solving graph coloring problems with the Douglas-Rachford algorithm

Francisco J. Aragón Artacho, Rubén Campoy외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 02.

Advanced Optimization Algorithms Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Karger-Motwani-Sudan (KMS) 프레임워크에 기반한 새로운 정방형계획법 설정을 제안하여 그래프 정점 색칠 문제에 대한 Douglas-Rachford (DR) 알고리즘의 성능을 향상시킨다. 이전의 이진 지표 변수 대신 질량 제약 조건이 부여된 행렬을 사용하여 문제를 재정의함으로써, DR 알고리즘은 다양한 DIMACS 벤치마크에서 100% 성공률을 기록하였으며, 한정 순환에 갇히는 현상도 피함으로써 이전 설정들에 비해 훨씬 뛰어난 강건성과 효율성을 입증하였다.

ABSTRACT

We study the behavior of the Douglas-Rachford algorithm on the graph vertex-coloring problem. Given a graph and a number of colors, the goal is to find a coloring of the vertices so that all adjacent vertex pairs have different colors. In spite of the combinatorial nature of this problem, the Douglas-Rachford algorithm was recently shown to be a successful heuristic for solving a wide variety of graph coloring instances, when the problem was cast as a feasibility problem on binary indicator variables. In this work we consider a different formulation, based on semidefinite programming. The much improved performance of the Douglas-Rachford algorithm, with this new approach, is demonstrated through various numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건 설정을 재정의함으로써 그래프 색칠 문제를 해결하는 데 있어 Douglas-Rachford 알고리즘의 성능을 향상시키는 것.
• 이전의 이진 지표 변수 설정 대비 KMS 정방형계획법 설정이 수렴성과 성공률 측면에서 더 우수한 성능을 보이는지 조사하는 것.
• 특히 투영 기반 휴리스틱에서 흔히 발생하는 한정 순환 행동을 피할 수 있는가를 포함해, 다양한 설정에서 DR 알고리즘의 강건성 분석하기.
• DIMACS 벤치마크 세트에 포함된 대규모 그래프 색칠 인스턴스에 대한 새로운 설정의 확장성과 효율성 평가하기.
• 비볼록 타당성 문제에서 해의 다중성과 알고리즘 고장 유형 간의 경험적 연관성 탐색하기.

제안 방법

• 각 정점에 대해 색상 할당을 나타내는 질량 1인 행렬을 연결하는 Karger-Motwani-Sudan (KMS) 정방형계획법 프레임워크를 사용하여 그래프 색칠 문제를 재정의한다.
• 타당성 문제의 정의는 두 집합의 교차로 이루어지며, 색상 할당 제약 조건을 만족하는 행렬 집합(C1)과 추적 값이 1인 음이 아닌 정부행렬 집합(C2)으로 구성되며, 이는 비볼록 타당성 문제를 이룬다.
• 반사 및 투영 연산자를 두 제약 집합에 적용하여 Douglas-Rachford 알고리즘을 적용하며, 이때 유연성 매개변수 λ = 0.75를 사용한다.
• 알고리즘은 반복적으로 두 집합에 투영하고 반사하여 타당해가 존재할 경우 수렴하는 수열을 생성한다.
• 수렴은 타당성 허용 오차와 최대 반복 횟수 제한을 통해 모니터링되며, 프로젝션은 프로베니우스 노름과 행렬 투영을 사용하여 구현된다.
• 수치 실험을 통해 30개의 DIMACS 벤치마크 그래프에서 KMS 설정과 이전의 이진 변수 설정 간 성능 비교를 실시하였으며, 성공률, 소요 시간, 반복 횟수 측정하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Douglas-Rachford 알고리즘을 사용할 때 KMS 정방형계획법 설정이 이진 지표 변수 설정보다 더 높은 성공률을 보이는가?
• RQ2 KMS 설정은 투영 기반 휴리스틱에서 흔히 발생하는 한정 순환에 갇히는 문제를 완화할 수 있는가?
• RQ3 KMS 설정을 사용할 경우 다양한 그래프 유형과 색칠 수에 따라 DR 알고리즘의 성능은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 KMS 설정의 향상된 성능는 해 공간 내 해의 다중성 또는 대칭성 감소와 관련이 있는가?
• RQ5 KMS 설정은 대규모 그래프 색칠 문제(예: 수백 개 정점, 수천 개 간선)를 실용적인 시간 제한 내에 효율적으로 해결할 수 있는가?

주요 결과

• KMS 설정은 테스트한 30개의 DIMACS 벤치마크 인스턴스 전부에서 100% 성공률를 기록하였으며, 이전에 이진 설정에서 실패했던 myciel7의 경우 9/10 성공 런을 달성하였다.
• 어려운 '나쁜' 스도쿠 인스턴스(사전 색상 할당 문제로 간주됨)에 대해서도 KMS 설정은 100% 성공률를 기록하였으며, 이는 이전 설정의 20% 미만 성공률에 비해 뚜렷한 향상이다.
• 대부분의 그래프에서 인스턴스 해결 평균 시간은 1시간 이내였으며, mulsol.i.2(188개 정점, 3,885개 간선, 색칠 수 31)의 경우 평균 최장 시간이 63.18초였다.
• 모든 인스턴스에 대해 100번의 런을 수행한 결과 시작점에 관계없이 강건성을 보였으며, 한정 순환 현상은 관측되지 않아 이 일반적인 실패 유형에 대한 면역성을 입증하였다.
• 반복 횟수 평균은 myciel3의 경우 7회에서 mulsol.i.2의 경우 8,696회로 변동하였으며, 높은 색칠 수와 밀도가 높은 그래프와 관련된 최고 반복 횟수였다.
• miles1500(128개 정점, 5,198개 간선, 색칠 수 73)과 같은 대규모 인스턴스도 평균 24.65초 내에 성공적으로 해결하여 확장성을 입증하였다.