[논문 리뷰] An enriched multiscale mortar space for high contrast flow problems

Eric T. Chung, Shubin Fu외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 08.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고대비 유동 문제에서의 강건성과 효율성을 향상시키기 위해 일반화된 다스케일 유한요소법(GMsFEM)을 사용하여 향상된 다스케일 모르타르 공간을 제안한다. 스냅샷 공간과 직교 분해(POD)를 통해 국소 다스케일 기저 함수를 구성함으로써, 정확한 다중스케일 해법 및 대비와 도메인 크기 변화에 민감하지 않은 강건한 이중 수준 조절자(preconditioner)를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Mortar methods are widely used techniques for discretizations of partial differential equations and preconditioners for the algebraic systems resulting from the discretizations. For problems with high contrast and multiple scales, the standard mortar spaces are not robust, and some enrichments are necessary in order to obtain an efficient and robust mortar space. In this paper, we consider a class of flow problems in high contrast heterogeneous media, and develop a systematic approach to obtain an enriched multiscale mortar space. Our approach is based on the constructions of local multiscale basis functions. The multiscale basis functions are constructed from local problems by following the framework of the Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM). In particular, we first create a local snapshot space. Then we select the dominated modes within the snapshot space using an appropriate Proper Orthogonal Decomposition (POD) technique. These multiscale basis functions show better accuracy than polynomial basis for multiscale problems. Using the proposed multiscale mortar space, we will construct a multiscale finite element method to solve the flow problem on a coarse grid and a preconditioning technique for the fine scale discretization of the flow problem. In particular, we develop a multiscale mortar mixed finite element method using the mortar space. In addition, we will design a two-level additive preconditioner and a two-level hybrid preconditioner based on the proposed mortar space for the iterative method applied to the fine scale discretization of the flow problem. We present several numerical examples to demonstrate the efficiency and robustness of our proposed mortar space with respect to both the coarse multiscale solver and the preconditioners.

연구 동기 및 목표

• 고대비, 다스케일 유동 문제에 대해 표준 모으타르 공간의 강건성 부족 문제를 해결한다.
• 세밀한 스케일 이질성을 포착하면서도 저차원을 유지하는 풍부한 모으타르 공간을 체계적으로 구성하는 방법을 개발한다.
• 粗격자 및 세밀한 격자 이산화에 대해 효율적이고 정확한 다스케일 유한요소 해법 및 강건한 조절자를 가능하게 한다.
• 모우타르 공간이 대비 수준과 도메인 크기의 변화에 관계없이 효과적으로 유지됨을 보장한다.

제안 방법

• 粗격자 모서리 주변의 영역에서 국소 문제를 풀어 스냅샷 공간를 구성하고, 그 해를 모서리에 제한한다.
• 스냅샷 공간에서 주요 모드를 추출하기 위해 직교 분해(POD)를 적용하여 모우타르 공간의 다스케일 기저 함수를 형성한다.
• 다양한 스케일 모우타르 혼합 유한요소 방법을 사용하여 얻어진 다스케일 모우타르 공간을 이용해粗격자에서의 흐름 문제를 해결한다.
• 세밀한 격자 이산화에 적용된 반복 해법을 위한 이중 수준의 덧셈형 및 하이브리드 조절자를 설계하며, 다스케일 모우타르 공간을 거칠은 공간으로 사용한다.
• 블록 자이아코비 스무딩과 다스케일 거칠은 보정을 결합한 이중 수준 조절 프레임워크에 모우타르 공간을 통합한다.
• 모우타르 공간에 의해 강제되는 라그랑주 승수를 통해 전역 유량 연속성을 확보함으로써, 하위영역 간의 약한 결합을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고대비 비균질 매질에서 강건성을 보장하기 위해 다스케일 모우타르 공간을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 다스케일 기저 함수를 다항식 기저 함수와 비교할 때 대비에 대한 수렴 강건성은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 국소 조절자 도메인의 선택이 제안된 모우타르 공간을 사용한 반복 해법의 수렴에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ4 풍부한 모우타르 공간이 다양한 도메인 크기와 대비 수준에서도 효율성과 정확성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 다스케일 기저 함수를 사용한 경우, 다항식 기반의 거칠은 공간에 비해 PCG 반복 횟수를 크게 감소시킨다. 특히 고대비 조건에서 뚜렷한 효과를 보이며, 예를 들어 대비 $10^6$ 조건에서 다스케일 기저를 사용할 경우 반복 횟수는 17 이하로 유지되지만, 다항식 기저는 13에서 39로 증가한다.
• 반복 횟수 측면에서 하이브리드 조절자가 덧셈 조절자보다 우수하지만, 반복마다 거칠은 조절자를 두 번 적용해야 한다.
• 국소 조절자를 하위영역(영역 2–4)으로 제한할 경우, 영역 1에 비해 GMRES(2) 반복 횟수를 약 절반으로 줄여, 국소 조건이 향상됨을 보여준다.
• 모든 도메인 유형과 조절자 변형에서 반복 횟수가 대비에 거의 영향을 받지 않으며, 제안된 방법의 강건성을 확인한다.
• 랜덤 스냅샷(사례 4)을 사용할 경우 결정론적 스냅샷(사례 3)보다 약간 더 높은 반복 횟수를 보이지만, 여전히 강건성과 효율성을 유지한다.
• 이 방법은 대비 독립적 수렴을 달성하며, 대비 수준 $10^2$, $10^4$, $10^6$ 에서 반복 횟수가 안정적으로 유지되어 강건성을 검증한다.