[논문 리뷰] An entropic interpolation problem for incompressible viscid fluids

Marc Arnaudon, Ana Bela Cruzeiro외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 압축성 없는 점성 유체를 위한 확률적 변분 문제를 제안하며, 고정된 초기 및 최종 마진 분포를 갖는 브라운 운동 경로 위의 확률측도에 대한 엔트로피 최소화 문제로 재구성한다. 이 문제와 나비에-스토크스 방정식 사이에 이중성(duality)을 수립하여, 압력에 대한 정칙성 가정 하에 해의 운동학적 성질이 점성 유체역학과 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

In view of studying incompressible inviscid fluids, Brenier introduced in the late 80's a relaxation of a geodesic problem addressed by Arnold in 1966. Instead of inviscid fluids, the present paper is devoted to incompressible viscid fluids. A natural analogue of Brenier's problem is introduced, where generalized flows are no more supported by absolutely continuous paths, but by Brownian sample paths. It turns out that this new variational problem is an entropy minimization problem with marginal constraints entering the class of convex minimization problems. This paper explores the connection between this variational problem and Brenier's original problem. Its dual problem is derived and the general shape of its solution is described. Under the restrictive assumption that the pressure is a nice function, the kinematics of its solution is made explicit and its connection with the Navier-Stokes equation is established.

연구 동기 및 목표

• 결정론적 경로를 확률적 브라운 운동으로 대체하여 브레니에의 아르니올드의 기하학적 최단경로 문제에 대한 엔트로피 이완을 압축성 없는 점성 유체로 확장하기 위해.
• 압축성 및 마진 제약 조건 하에서 위너 측도에 대한 상대 엔트로피를 최소화하는 변분 문제를 설정하기 위해.
• 이중 문제를 유도하고, 압축성 제약 조건을 위한 자연스러운 라그랑주 승수로 압력장을 식별하기 위해.
• 압력에 대한 정칙성 가정 하에 엔트로피 문제의 해와 나비에-스토크스 방정식 사이의 연결을 수립하기 위해.
• 엔트로피 기준과 컴팩턴스 추론을 통해 토러스 $\mathbb{T}^n$ 상에서 해의 존재성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 경로 공간 $\Omega = C([0,1], \mathcal{X})$ 상의 측도 위에서 상대 엔트로피의 볼록 최소화 문제로 브레딩거의 문제를 설정하기 위해.
• 표준 과정 $X_t(\omega) = \omega_t$ 를 사용하여 마진 분포를 정의하고, 균일한 시간 마진 제약 조건을 통해 압축성을 강제하기 위해.
• 볼록 이중성 이론을 적용하여 이중 문제를 유도하고, 압축성 제약 조건을 위한 라그랑주 승수로서 압력장이 어떻게 나타나는지 분석하기 위해.
• 해의 위너 측도에 대한 라돈-니코딤 미분을 일반 형태로 특성화하며, 이는 일반적으로 마코프 성질을 갖지 않을 수 있음을 나타내기 위해.
• 압력이 매끄러운 함수라고 가정하여, 스토크래틱 미분 방정식을 통해 해의 운동학적 성질을 명시적으로 기술하기 위해.
• 카메론-마틴-기르산프 공식과 경로 기반 엔트로피 분해를 사용하여 $H(Q|R)$ 를 분석하고, 컴팩턴스 및 엔트로피 항의 연속성에 기반하여 $\mathbb{T}^n$ 상에서 존재성을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브레니에의 기하학적 최단경로 문제에 대한 엔트로피 이완을 브라운 운동을 사용하여 압축성 없는 점성 유체로 확장할 수 있는가?
• RQ2 엔트로피 최소화 공식화의 이중 문제의 형태는 무엇이며, 압력장은 어떻게 라그랑주 승수로서 나타나는가?
• RQ3 엔트로피 문제의 해가 나비에-스토크스 방정식을 만족하는 확률적 과정이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 압력이 매끄럽다고 가정할 경우, 해의 운동학적 성질는 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 토러스 $\mathbb{T}^n$ 상에서 엔트로피 문제의 해가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 압축성 없는 점성 유체에 대한 엔트로피 보간 문제는 마진 및 압축성 제약 조건 하에서 위너 측도에 대한 상대 엔트로피의 볼록 최소화 문제로 공식화된다.
• 이중 문제가 도출되었으며, 압력장은 압축성을 강제하는 라그랑주 승수로 식별되었으며, 브레니에의 프레임워크와 일관된다.
• 브레딩거 문제의 해는 상호적(reciprocal)이지만 반드시 마코프 성질을 갖는 것은 아니며, 위너 측도에 대한 그 라돈-니코딤 미분은 일반 형태로 특성화된다.
• 압력이 매끄러운 함수라고 가정할 경우, 해의 운동학적 성질는 나비에-스토크스 방정식과 연결된 스토크래틱 미분 방정식을 통해 명시적으로 기술된다.
• 토러스 $\mathbb{T}^n$ 상에서, 브레딩거 문제의 해가 존재하는 것은 상대 엔트로피 $H(\pi|R_{01})$ 가 유한할 때이고, $x,y \in \mathbb{T}^n$ 에 대해 $H(\mathrm{vol}|R^{xy}_{1/2})$ 가 균일하게 유계일 때에만 성립한다.
• 엔트로피 분해와 컴팩트 토러스 상에서 밀도 비율 $dR^{xy}_{1/2}/d\mathrm{vol}$ 의 연속성에 기반하여 $H(Q|R)$ 의 유한성이 확립되었으며, 이는 제시된 엔트로피 조건 하에서 존재성을 보장한다.