[논문 리뷰] An Equivariant Brauer Group and Actions of Groups on C*-algebras

D. Crocker, Alex Kumjian외 2명|ArXiv.org|1994. 12. 12.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 국소 컴acts한 공간 T 위에 작용하는 second countable한 국소 컴acts한 군 G에 대해, 스펙트럼이 T인 분리 가능한 연속 추적 C*-대수 위의 G-작용의 모리타 동치류를 분류하는 등변 브라우어 군 BrG(T)를 도입한다. 무어 코hom로지와 층 코hom로지를 사용하여, 군 코hom로지와 정수 코hom로지에 기반한 BrG(T)의 필터를 수립하며, G = R인 경우 모든 안정적인 연속 추적 C*-대수가 주어진 T 위의 작용을 덮는 유일한(외부 동치를 제외하고는) 작용을 가짐을 증명한다. 이는 Raeburn과 Rosenberg의 이전 결과를 크게 일반화한다.

ABSTRACT

Suppose that $(G,T)$ is a second countable locally compact transformation group given by a homomorphism $\ell:G o\Homeo(T)$, and that $A$ is a separable continuous-trace \cs-algebra with spectrum $T$. An action $α:G o\Aut(A)$ is said to cover $\ell$ if the induced action of $G$ on $T$ coincides with the original one. We prove that the set $\brgt$ of Morita equivalence classes of such systems forms a group with multiplication given by the balanced tensor product: $[A,α][B,β] = [A\Ttensor B,α ensorβ]$, and we refer to $\brgt$ as the Equivariant Brauer Group. We give a detailed analysis of the structure of $\brgt$ in terms of the Moore cohomology of the group $G$ and the integral cohomology of the space $T$. Using this, we can characterize the stable continuous-trace \cs-algebras with spectrum $T$ which admit actions covering $\ell$. In particular, we prove that if $G=\R$, then every stable continuous-trace \cs-algebra admits an (essentially unique) action covering~$\ell$, thereby substantially improving results of Raeburn and Rosenberg. Versions of this paper in *.dvi and *.ps form are available via World wide web servers at http://coos.dartmouth.edu/~dana/dana.html

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼이 T인 연속 추적 C*-대수 위의 G-작용의 모리타 동치류로 이루어진 BrG(T)를 정의하고 특성화하기.
• 무어 코hom로지와 층 코hom로지 군을 사용하여 BrG(T)의 구조적 필터링을 수립하기.
• 주어진 T 위의 작용을 덮는 G-작용의 존재성과 유일성을 규명하기, 특히 G = R인 경우에 중점을 두기.
• 스펙트럼 수열 필터링을 통해 딕스미에르-두아디 이sov레니즘을 등변 설정으로 일반화하기.

제안 방법

• 스펙트럼이 T인 연속 추적 C*-대수 A 위의 G-작용 α에 대해, BrG(T)를 모리타 동치류 [A, α]의 군으로 정의하며, C0(T)를 중심으로 한 균형 텐서곱을 통해 곱을 정의한다.
• BrG(T)의 구조를 분석하기 위해 그로텐디크의 등변 코hom로지 H2(T, G; S)의 스펙트럼 수열을 사용하여, 낮은 차수의 코hom로지 군을 통해 BrG(T)를 필터링한다.
• 국소 컴팩트 군에 대해 무어 코호모로지를 적용하여, H2(G, C(T, T))와 H3(G, C(T, T))를 단위 코호모로지와 외부 작용을 통한 작용의 실현에 대한 장벽으로 해석한다.
• Combes–Curto–Muhly–Williams 정리를 적용하여, 와이즈드 프로덕트가 역함수를 유도함을 보이고, 자유이고 적절한 작용의 경우에 등복을 증명한다.
• Gysin 수열과 층 코호모로지를 사용하여, N-적절한 체계의 경우 BrG(T)와 H2_G(T, S) 사이의 관계를 규명한다.
• G = R일 때 스펙트럼 수열에서 d2 = 0 및 d3 = 0임을 보여 F: BrG(T) → H3(T; Z)가 전사임을 증명한다. 이는 작용의 존재성과 유일성을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼이 T인 안정적인 연속 추적 C*-대수에 대해, 주어진 T 위의 G-작용을 덮는 G-작용이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 무어 코호모로지와 층 코호모로지를 사용하여 BrG(T)를 코호모로지 성분으로 분해할 수 있는가?
• RQ3 H2(G, C(T, T))와 H3(G, C(T, T))는 연속 추적 C*-대수 위의 작용을 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 왜 G = R일 때 이러한 작용의 존재성과 유일성이 보장되는가?
• RQ5 국소 컴팩트 설정에서 BrG(T)는 그로텐디크의 등변 코호모로지 H2(T, G; S)와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• G = R일 때, 스펙트럼이 T인 모든 안정적인 연속 추적 C*-대수에는 주어진 T 위의 작용을 덮는 작용이 존재하며, 외부 동치를 제외하고는 유일하다.
• BrG(T)는 {0} ≤ B1 ≤ B2 ≤ B3 = BrG(T)의 조합 수열을 가진다. 여기서 B3/B2는 H3(T; Z)의 부분군과 동형이며, B2/B1은 H1(G, H2(T; Z))의 부분군과 동형이며, B1은 H2(G, C(T, T))의 몫과 동형이다.
• G = R일 때, BrG(T)를 계산하는 데 사용된 스펙트럼 수열은 d2 = 0 및 d3 = 0를 만족한다. 이는 F: BrG(T) → H3(T; Z)가 전사임을 의미한다.
• 자유이고 적절한 G-작용의 경우, 궤도 사상이 등복을 유도하며, 이는 Br(T/G) → BrG(T)의 사상 p*가 등복임을 보여 BrG(T)가 몫 공간의 브라우어 군과 동형임을 의미한다.
• G-작용이 자명할 경우, F: BrG(T) → Br(T)의 핵은 H2(G, C(T, T))와 동형이며, G = R일 때는 정확한 수열의 모든 군이 영이 되므로 ker(F)는 자명하다.
• G가 T 위에서 자명하게 작용할 경우, H2(G, C(T, T))는 C0(T, K) 위의 작용을 분류하며, G = Z일 때 이 군은 맵 η를 통해 H2(T; Z)와 동형이다.