[논문 리뷰] An equivariant index for proper actions II: properties and applications

Peter Hochs, Yanli Song|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 09.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비콤파クト 리 군의 비콤파クト 다양체 위에서의 적절한 작용에 대해 등변 지수를 정의하며, 콤팩트 군의 Braverman 지수를 일반화한다. 군과 궤도 공간이 모두 비콤파クト할 때조차도 양자화가 감소와 교환 가능함 원리가 성립함을 보이며, K-호모로지적 Dirac 유도와의 관계를 보여주는 유도 성질을 증명한다.

ABSTRACT

In the first part of this series, we defined an equivariant index without assuming the group acting or the orbit space of the action to be compact. This allowed us to generalise an index of deformed Dirac operators, defined for compact groups by Braverman. In this paper, we investigate properties and applications of this index. We prove that it has an induction property that can be used to deduce various other properties of the index. In the case of compact orbit spaces, we show how it is related to the analytic assembly map from the Baum-Connes conjecture, and an index used by Mathai and Zhang. We use the index to define a notion of K-homological Dirac induction, and show that, under conditions, it satisfies the quantisation commutes with reduction principle.

연구 동기 및 목표

• 비콤파クト 리 군의 비콤파クト 다양체 위에서의 작용에 대해 기존 방법이 실패하는 상황에서 등변 지수 이론을 비콤파クト 군으로 확장한다.
• 콤팩트 군 결과(Braverman)와 콤팩트 궤도 공간 결과(Baum–Connes)를 모두 일반화하는 지수의 통합 프레임워크를 수립한다.
• 지수의 양자화가 감소와 교환 가능함 원리가 비콤파クト 설정에서 성립함을 증명한다.
• 궤도 공간이 콤팩트일 경우 지수를 분석적 어셈블리 맵과 Mathai–Zhang 지수와 연결한다.
• 새로운 지수를 사용하여 Connes–Kasparov 추측의 맥락에서 K-호모로지적 Dirac 유도 동형사상을 정의한다.

제안 방법

• 교차곱 대수 $ C_0(G/K) \rtimes G $ 의 K-호모로지에서 G-지수를 정의하며, Morita 동치를 통해 $ \widehat{R}(K) $ 와 동일시한다.
• 유도 성질을 증명: G-지수는 $ M = G \times_K N $ 이고 $ N \subset M $ 이 K-불변인 슬라이스에서 올라오며, 지수를 N 위의 데이터로 표현한다.
• 유도 성질을 사용하여 궤도 공간이 콤팩트일 경우 분석적 어셈블리 맵과 Mathai–Zhang 지수와의 관계를 유도한다.
• G-지수를 사용하여 $ \widehat{R}(K) $ 에서 Dirac 유도의 버전을 구성하며, Connes–Kasparov 동형사상을 비콤파クト 군으로 일반화한다.
• T^*(G/K) 에 지수를 적용하여 비콤파クト 설정에서의 유용성을 보여준다.
• 벡터장 $ v^\psi $ 의 G-적절성과 그 해밀토니언의 영점 집합을 사용하여 국소화를 통해 지수를 정의하고 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤파クト 리 군의 비콤파クト 다양체 위에서의 적절한 작용에 대해 등변 지수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 G-지수는 M 위의 값이 K-불변 슬라이스 $ N \subset M $ 의 데이터와 관련된 유도 성질을 만족하는가?
• RQ3 M/G 가 콤팩트일 경우 G-지수는 분석적 어셈블리 맵과 Mathai–Zhang 지수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 비콤파クト 설정에서 G-지수는 양자화가 감소와 교환 가능함 원리를 만족하는가?
• RQ5 G-지수를 사용하여 Connes–Kasparov 프레임워크에서 K-호모로지적 Dirac 유도 동형사상을 정의할 수 있는가?

주요 결과

• G와 M/G 둘 다 비콤파クト할지라도, 거의 연결된 리 군의 등변 이sovometric 작용에 대해 G-지수가 잘 정의된다.
• 유도 성질을 통해 G-지수는 $ M = G \times_K N $ 이고 $ N \subset M $ 이 K-불변인 슬라이스를 통해 계산되며, 지수는 $ \widehat{R}(K) $ 에서 N 위의 K-지수로 표현된다.
• M/G 가 콤팩트일 경우 G-지수는 분석적 어셈블리 맵과 Mathai–Zhang 지수와 관련되며, 반단순 군 G와 이산 시리즈가 존재하는 경우 어셈블리 맵은 G-지수로부터 직접 복원될 수 있다.
• 재구성된 G가 짝수 차원 G/K 와 등변 $ \operatorname{Spin} $-구조를 가질 경우, G-지수는 $ \operatorname{Spin}^c $-양자화가 감소와 교환 가능함 원리를 만족한다: $ m_\lambda = \sum_\nu n^\nu_\lambda Q(M_{\nu + \rho}) $.
• G-지수는 $ \widehat{R}(K) $ 에서 Dirac 유도의 버전을 정의하며, Connes–Kasparov 동형사상을 비콤파クト 군으로 일반화한다.
• G-지수는 $ \operatorname{Zeroes}(v^\psi)/G $ 가 비콤파クト하더라도 $ \psi $ 가 G-적절할 경우 여전히 잘 정의되며, 콤팩트 경우의 결과를 비콤파クト 설정으로 확장한다.