[논문 리뷰] An equivariant index theorem for hypoelliptic operators

Denis Perrot, Rudy Rodsphon|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 이산군 작용을 가진 분할 다양체 위의 초타분할 연산자에 대한 등변 지수 정리를 국소화된 연산자 추적과 Connes-Moscovici 잔여치를 이용하여, 순환 코hom로의 국소 공식을 도출함으로써 수립한다. 주요 결과는 Connes-Moscovici의 횡방향 지수 문제를 추측적 호프 대수 방법에 의존하지 않고, 히젠베르그 코구면다양체 위의 등변 특성류로써 초타분할 서명 연산자의 채르-콘스 캐릭터에 대한 직접적이고 명시적인 공식을 제공한다.

ABSTRACT

Let M be a foliated manifold and G a discrete group acting on M by diffeomorphisms mapping leaves to leaves. Then G naturally acts by automorphisms on the algebra of Heisenberg pseudodifferential operators on the foliation. Our main result is an index theorem for hypoelliptic-type operators which belong to the crossed product of the Heisenberg pseudodifferential operators with the group G. As a corollary, we get a solution to Connes-Moscovici's transverse problem in arbitrary codimensions, by exhibiting an explicit formula in terms of characteristic classes of equivariant vector bundles over M, for the Chern-Connes character associated to their hypoelliptic signature operator.

연구 동기 및 목표

• 리만 구조나 불변 측도를 가정하지 않고 일반적인 군 작용 하에서 분할 다형체 위의 초타분할 연산자에 대한 등변 지수 이론을 개발한다.
• Connes-Moscovici의 횡방향 지수 문제를 임의의 코드림에서 직접적인 채르-콘스 캐릭터 공식을 제공하여 해결한다.
• 간접적인 호프 대수 방법을 대체하여 히젠베르그 미분기하학과 국소화된 추적을 이용한 직접적이고 기하학적인 접근법을 제시한다.
• Connes-Moscovici 잔여치와 순환 코hom로의 분리에 의해 초타분할 연산자의 지수와 등변 특성류 사이의 연결 고리를 수립한다.

제안 방법

• 저자들은 분할 다형체 $M$ 위의 이산군 $G$ 작용이 리브를 보존하는 미분형태로 작용함을 전제로, $\Psi_{H,c}(M)\rtimes G$ 라는 교차곱 대수를 정의한다.
• smoothing 연산자 이상에서의 국소화된 연산자 추적 $\mathrm{Tr}_{[1]}$ 을 정의하며, 이는 군 $G$ 의 항등원에 집중된다.
• 주요 기술적 도구는 순환 코hom로의 경계 사상 $\partial: \mathrm{HP}^0(\Psi^{-\infty}_c(M)\rtimes G) \to \mathrm{HP}^1(\mathcal{S}_{H,c}^0(M)\rtimes G)$ 이다.
• 그들은 $\partial([\mathrm{Tr}_{[1]}])$ 가 초타분할 하위라플라시안 $\Delta_H^{1/4}$ 과의 로그 공액기와 관련된 등변 라두르 코호모로이드로 표현됨을 보인다.
• 이 구성은 히젠베르그 코구면다양체 $S^*_H M$ 위에서의 Connes-Moscovici 잔여치를 이용하여 형식적 기호로 표현되는 국소 공식을 도출한다.
• 최종 식별은 등변 코hom로지에서 순환 코hom로의 특성 사상 $\Phi$ 와 사영 $\pi: S^*_H M \to M$ 에 沿한 $\pi_*$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 계량이나 불변 측도를 가정하지 않고, 분할 다형체 위의 초타분할 연산자에 대한 등변 지수 정리를 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 겔판드-후크스 추측을 기반으로 하지 않고도 초타분할 서명 연산자의 채르-콘스 캐릭터를 특성류의 형태로 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 히젠베르그 미분기하학자 연산자의 교차곱 대수에서의 분리 사상에 있어 국소화된 연산자 추적의 역할은 무엇인가?
• RQ4 군 작용이 존재하는 상황에서 히젠베르그 코구면다양체 위의 Connes-Moscovici 잔여치는 어떻게 지수를 포착하는가?
• RQ5 지수 이론은 동치류의 호모토피 몫 $EG \times_G S^*_H M$ 위의 등변 코hom로지 클래스로 완전히 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 국소화된 연산자 추적의 경계 $\partial([\mathrm{Tr}_{[1]}])$ 는 초타분할 하위라플라시안 $\Delta_H^{1/4}$ 과의 로그 공액기와 관련된 등변 라두르 코호모로이드로 표현된다.
• 초타분할 서명 연산자의 채르-콘스 캐릭터는 $\mathrm{ch}(H,F) = \pi_* \circ \Phi(L'(M))$ 로 주어지며, 여기서 $L'(M) = \mathrm{Td}(TM \otimes \mathbb{C}) \cup \mathrm{ch}(E_+)$ 이다.
• $L'(M)$ 은 히젠베르그 양의 고유공간 번들의 채르-웨일 이론을 통해 구성된, 호모토피 몫 $EG \times_G S^*_H M$ 위의 닫힘 $G$-불변 미분형식이다.
• 분리 사상 $\partial([\mathrm{Tr}])$ 의 이미지는 행렬 대수의 식별 하에서 $\mathrm{tr}\# \Phi(\pi^* \mathrm{Td}(TM \otimes \mathbb{C}))$ 와 같다.
• 군 $G$ 가 고정점을 갖지 않으면서 작용할 경우, $\partial([\mathrm{Tr}]) = \partial([\tau])$ 이므로 국소화된 추적은 전체 지수 정보를 포착한다.
• 최종 지수 공식은 토드 클래스를 $G$-불변 프로jections $e$ 의 채르-캐릭터로 휘감아, 특성 사상을 통해 전체 채르-콘스 캐릭터를 도출한다.