[논문 리뷰] An exact algorithm for biobjective integer programming problems

Saliha Doğan, Özlem Karsu외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 비선형 정수계획법(BOIP) 문제를 정확하게 해결하기 위한 알고리즘을 제시하며, Pascoletti-Serafini 스칼라화를 활용해 목적공간 내 상자 박스를 체계적으로 탐색하고 모든 비지배해를 식별한다. 이 방법은 시간 제한 하에서도 해집합의 대표성을 향상시키기 위해 참조점과 방향벡터를 동적으로 조정하며, 풀어야 할 정수계획문제의 수를 줄이며 기존 알고리즘보다 커버리지 및 초과부피 갭 지표에서 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

We propose an exact algorithm for solving biobjective integer programming problems, which arise in various applications of operations research. The algorithm is based on solving Pascoletti-Serafini scalarizations to search specified regions (boxes) in the objective space and returns the set of nondominated points. We implement the algorithm with different strategies, where the choices of the scalarization model parameters and splitting rule differ. We then derive bounds on the number of scalarization models solved; and demonstrate the performances of the variants through computational experiments both as exact algorithms and as solution approaches under time restriction. The experiments demonstrate that different strategies have advantages in different aspects: while some are quicker in finding the whole set of nondominated solutions, others return good-quality solutions in terms of representativeness when run under time restriction. We also compare the proposed approach with existing algorithms. The results of our experiments show the satisfactory behaviour of our algorithm, especially when run under time limit, as it achieves better coverage of the whole frontier with a smaller number of solutions compared to the existing algorithms.

연구 동기 및 목표

• 비지배해 집합을 완전히 식별할 수 있도록 보장하는 이중목적 정수계획법(BOIP) 문제를 해결하기 위한 정확한 알고리즘을 개발하는 것.
• Pascoletti-Serafini 스칼라화의 다양한 매개변수 설정 및 분할 규칙이 계산 효율성과 해집합 품질에 미치는 영향을 탐구하는 것.
• 시간 제한 하에서의 알고리즘 성능을 평가하며, 커버리지 오차 및 초과부피 갭과 같은 대표성 지표에 중점을 두는 것.
• 기존 방법들인 균형 잡힌 상자 알고리즘과 에프선스트레인트 알고리즘과의 비교를 통해 해집합 품질과 계산 비용 측면에서 성능을 평가하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 참조점과 방향벡터로 정의되는 Pascoletti-Serafini 스칼라화를 사용하여 스칼라화된 믹스드-인티저 계획문제를 풀고, 목적공간 내 특정 영역(상자)에서 비지배해를 식별한다.
• 목적공간을 더 작은 상자들로 나누는 상자 기반 분할 전략을 사용하여 비지배경선을 완전히 커버할 수 있도록 한다.
• 기존 비지배해를 사용한 참조점 선택 방식과 고정된 (1,1)T 또는 대각선 기반 방향벡터 전략 등 다양한 변형을 구현한다.
• 알고리즘이 종료됨을 증명하고, 풀어야 할 스칼라화 문제의 수에 대한 이론적 경계를 제공하여 완전성을 보장한다.
• 시간 제한 하에서 해집합의 대표성을 정량적으로 평가하기 위해 스케일드 초과부피 갭(SHG)과 커버리지 오차(CE/SCE)를 사용한다.
• 기존 접근법과의 비교를 위해 계산 실험을 수행하며, 정확한 설정과 시간 제한 설정 모두에서 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Pascoletti-Serafini 스칼라화의 다양한 매개변수 설정—특히 참조점 선택 및 방향벡터 설정—이 이중목적 정수계획법에서의 계산 효율성과 해집합 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 다양한 알고리즘 변형에서 풀어야 할 정수계획문제의 수와 해 시간 사이의 상호 교환 관계는 어떻게 되며, 어떤 전략이 가장 균형 잡힌 성능을 보이는가?
• RQ3 시간 제한 하에서 해집합의 대표성(커버리지 오차 및 초과부피 갭으로 측정) 측면에서 이 알고리즘이 기존 알고리즘보다 어떻게 성능을 냈는가?
• RQ4 스칼라화에서 대각선 기반 방향벡터를 사용하면, 특히 시간이 제한된 상황에서 더 대표성이 높은 해집합을 더 적은 스칼라화 수로 도출할 수 있는가?
• RQ5 BOIP 문제에서 비지배해 집합을 완전히 탐색하기 위해 필요한 스칼라화 문제의 수에 대한 이론적 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 기존 비지배해를 사용해 상자를 정의하는 알고리즘 변형이 시간 제한 하에서도 다른 변형들보다 해집합 품질과 계산 효율성 측면에서 뛰어나다.
• 고정된 방향벡터 (1,1)T를 사용하면 풀어야 할 정수계획문제의 수는 증가하지만, 복잡한 스칼라화 수가 줄어들어 계산 시간은 감소한다.
• 탐색 상자의 대각선에 따라 방향벡터를 설정하면 시간 제한 하에서도 매우 대표성이 높은 해집합 부분집합을 도출할 수 있으며, 경쟁 알고리즘보다 더 낮은 커버리지 오차와 초과부피 갭을 달성한다.
• 시간 제한 하에서 제안된 알고리즘은 균형 잡힌 상자 알고리즘보다 더 적은 수의 해를 사용해 비지배경선을 더 잘 커버한다. KP 인스턴스의 경우 평균 25.5% 적은 정수계획문제를 풀고, AP 인스턴스의 경우 36.5% 적은 문제를 풀었다.
• 알고리즘의 성능은 대표성 지표 측면에서 일관되게 뛰어나다. 예를 들어, KP 인스턴스의 클래스 D에서 시간 제한 하에 스케일드 초과부피 갭(SHG)이 0.0765로 측정되었고, 균형 잡힌 상자 알고리즘의 0.1182보다 낮았다.
• 비교 실험 결과, 제안된 알고리즘(CN)은 모든 시간 제한에서 균형 잡힌 상자(BB) 알고리즘과 비교해 보다 우수하거나 유사한 커버리지 및 초과부피 갭 성능을 보였으며, 시간이 증가함에 따라 성능 격차는 점차 줄어들었다.