[논문 리뷰] An exact and explicit formula for pricing Asian options with regime switching

Leunglung Chan, Song‐Ping Zhu|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 17.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 상태의 제도 전환 모델 하에서 기초 자산이 마코프 조절 기하 브라운 운동을 따르는 경우, 유럽식 유동 스탑 Asian 옵션을 정확하고 닫힌 형태의 해석 공식으로 가격 정책을 유도한다. 히브리드 분석 방법(HAM)을 사용하여 연립 편미분방정식 시스템을 해결함으로써 명시적 해를 도출하였으며, 제도 전환 하에서 이 종류의 복잡한 옵션에 대해 처음으로 정확하고 명시적인 공식을 제공한다.

ABSTRACT

This paper studies the pricing of European-style Asian options when the price dynamics of the underlying risky asset are assumed to follow a Markov- modulated geometric Brownian motion; that is, the appreciation rate and the volatility of the underlying risky asset depend on unobservable states of the economy described by a continuous-time hidden Markov process. We derive the exact, explicit and closed-form solutions for European-style Asian options in a two-state regime switching model.

연구 동기 및 목표

• 표준 Black-Scholes 프레임워크보다 더 현실적인 제도 전환 모델 하에서 Asian 옵션에 대한 닫힌 형태의 해가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 기초 자산 가격의 동역학을 마코프 조절 기하 브라운 운동으로 모델링하여, 은폐된 경제 제도에 따라 드리프트와 변동성 파라미터가 두 상태 간 전환되도록 하기 위해.
• 이 제도 전환 환경 하에서 유동 스탑 Asian 옵션에 대한 해석적 해를 유도함으로써 정밀한 가격 설정과 헤징을 가능하게 하기 위해.
• Black-Scholes 프레임워크에서 알려진 결과를 확장하여, 제도 전환 모델 하에서 고정 스탑과 유동 스탑 Asian 옵션 간의 대칭 관계를 수립하기 위해.
• 제도 전환 역학 하에서 복잡한 옵션 가격 설정에 대한 수치적 방법과 향후 연구의 기준이 되는 기준을 제공하기 위해.

제안 방법

• 기초 자산 가격을 마코프 조절 기하 브라운 운동으로 모델링하며, 연속 시간 유한 상태 마코프 체인에 의해 제어되는 두 상태 간 전환되는 드리프트 및 변동성 파라미터를 사용한다.
• 위험 중립 측도 하에서 Feynman-Kac 공식을 기반으로 각 제도에서의 옵션 가치에 대한 연립 편미분방정식(PDE) 시스템으로 가격 설정 문제를 수립한다.
• 비선형 문제를 선형 PDE 시퀀스로 변환하기 위해 히브리드 분석 방법(HAM)을 적용하여 PDE 시스템을 반복적으로 해결한다. 이 선형 PDE는 알려진 그린 함수 해를 가진다.
• 흡수 및 반사 항이 포함된 열 방정식의 그린 함수 표현을 사용하며, 경계 조건을 처리하기 위해 지수 가중치와 보완 오차 함수를 통합한다.
• 보완 오차 함수(erfc)와 공간-시간 가중치를 포함한 기본 해를 사용하여 각 제도에서의 옵션 가치에 대한 재귀적 적분 해를 유도한다.
• 통화 기준의 변화를 적용하고 제도 전환 하에서 PDE 시스템의 구조를 활용하여 고정 스탑과 유동 스탑 Asian 옵션 간의 대칭성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기초 자산이 제도 전환 기하 브라운 운동을 따를 경우, 유동 스탑 Asian 옵션에 대해 정확하고 닫힌 형태의 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 히브리드 분석 방법(HAM)은 제도 전환 옵션 가격 설정 모델에서 발생하는 연립 비선형 PDE에 대해 해석적 해를 도출하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ3 제도 전환 프레임워크 하에서 고정 스탑과 유동 스탑 Asian 옵션 간의 관계는 무엇이며, Black-Scholes 사례와 유사한 대칭성이 유지되는가?
• RQ4 제도 전환 파라미터(전이 강도, 드리프트, 변동성)는 표준 Black-Scholes 모델과 비교해 Asian 옵션 가격에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 유도된 해석적 공식은 변화하는 제도가 존재하는 시장에서 경로 의존적 옵션의 리스크 관리와 헤징에 대해 어떤 함의를 지니는가?

주요 결과

• 이 논문은 두 상태 제도 전환 모델 하에서 유럽식 유동 스탑 Asian 옵션을 정확하고 명시적이며 닫힌 형태의 해석 공식으로 유도하였다.
• 해는 히브리지 분석 방법(HAM)을 통해 연립 비선형 PDE 시스템을 선형 PDE 시퀀스로 변환함으로써 구성되었으며, 이는 알려진 그린 함수를 가진다.
• 결과적으로 도출된 가격 공식은 보완 오차 함수(erfc)를 포함한 재귀적 적분 표현, 공간 적분, 제도별 파라미터에 의존하는 지수 가중치 항을 포함한다.
• 고정 스탑과 유동 스탑 Asian 옵션 간의 대칭성이 수립되었으며, 적절한 스트라이크 및 초깃값 변환 하에서 유동 스탑 콜의 가격은 고정 스탑 풋의 가격과 동일하다.
• 해는 산술 평균 Asian 옵션과도 일치하며, 제도 전환 파라미터를 일정 값으로 설정할 경우 기존 Black-Scholes 모델 결과와 일致한다.
• 이 방법은 제도 전환 역학 하에서 다른 경로 의존적 옵션에 대한 해석적 가격 설정으로의 체계적 확장 가능성을 제공하며, 수치 검증을 위한 기준을 제공한다.