[논문 리뷰] An exact general remeshing scheme applied to conservative voxelization

Devon Powell, Tom Abel|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 16.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 18인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 다면체 셀 위에서 다항식 함수의 보존적 바이얼라이제이션을 위한 강력하고 정확한 리메시킹 기법을 제시한다. 볼록 다면체 자르기와 단체 분해를 통해 해석적 적분을 계산하여 질량, 운동량, 에너지의 전역 보존을 보장한다. 이 방법은 입력 테트라헤드론 메쉬와 출력 카르테시안 그리드 사이의 체적 적분 동치를 보장하며, 성능 향상과 수치 안정성이 입증되었다.

ABSTRACT

We present an exact general remeshing scheme to compute analytic integrals of polynomial functions over the intersections between convex polyhedral cells of old and new meshes. In physics applications this allows one to ensure global mass, momentum, and energy conservation while applying higher-order polynomial interpolation. We elaborate on applications of our algorithm arising in the analysis of cosmological N-body data, computer graphics, and continuum mechanics problems. We focus on the particular case of remeshing tetrahedral cells onto a Cartesian grid such that the volume integral of the polynomial density function given on the input mesh is guaranteed to equal the corresponding integral over the output mesh. We refer to this as physically conservative voxelization. At the core of our method is an algorithm for intersecting two convex polyhedra by successively clipping one against the faces of the other. This algorithm is an implementation of the ideas presented abstractly by Sugihara (1994), who suggests using the planar graph representations of convex polyhedra to ensure topological consistency of the output. This makes our implementation robust to geometric degeneracy in the input. We employ a simplicial decomposition to calculate moment integrals up to quadratic order over the resulting intersection domain. We also address practical issues arising in a software implementation, including numerical stability in geometric calculations, management of cancellation errors, and extension to two dimensions. In a comparison to recent work, we show substantial performance gains. We provide a C implementation intended to be a fast, accurate, and robust tool for geometric calculations on polyhedral mesh elements.

연구 동기 및 목표

• 메시 변환 중 물리적 양의 정확한 보존을 보장하는 일반적인 리메시킹 기법을 개발하는 것.
• 메시 전환 동안 적분 값을 유지함으로써 물리 시뮬레이션에서 보존적 고차 다항식 보간을 가능하게 하는 것.
• 다각형 교차 계산에서 발생하는 기하학적 퇱성과 수치적 불안정성 문제를 해결하는 것.
• 다각형 메시 요소에 대한 기하 계산을 위한 빠르고 정확하며 강력한 C 구현을 제공하는 것.
• 위상 일관성과 수치 정확성을 유지하면서 이 방법을 2차원 응용으로 확장하는 것.

제안 방법

• 한 볼록 다면체를 다른 다면체의 면에 대해 연속적으로 자르는 방식으로 교차를 계산하며, 이는 Sugihara(1994)의 평면 그래프 표현을 기반으로 하여 위상 일관성을 확보한다.
• 교차 영역의 단체 분해를 통해 2차까지의 모멘트 적분을 높은 정확도로 계산한다.
• 추상적인 다면체 표현과 일관된 위상 처리에 의존함으로써 기하학적 퇱성에 강건한 알고리즘 설계가 이루어진다.
• 기하 연산 중 이중화 오차의 캔슬레이션을 신중히 관리함으로써 수치 안정성을 향상시킨다.
• 3차원 테트라헤드론에서 카르테시안 그리드로의 리메시킹과 2차원 확장 모두를 지원하며, 기하학적 및 위상적 행동이 일관되게 유지된다.
• 성능과 정확도에 최적화된 C 구현체를 제공하여 보존적 기하 계산에 적합하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 및 새로운 메시 셀 간의 교차 영역에서 다항식 함수의 정확한 해석적 적분을 어떻게 계산하여 보존을 보장할 수 있는가?
• RQ2 기하학적 퇃성의 영향을 받는 다각형 자르기 과정에서 위상 일관성과 강건성을 확보하는 알고리즘적 접근은 무엇인가?
• RQ3 복잡한 교차 영역에서 2차까지의 모멘트 적분을 효율적이고 정확하게 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 최근의 대안들과 비교해 볼 때 이 방법이 어떤 성능 향상과 수치 안정성 향상을 달성하는가?
• RQ5 정확성과 강건성을 유지하면서 이 방법을 2차원 응용으로 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 리메시킹 기법은 입력 테트라헤드론 메쉬와 출력 카르테시안 그리드 사이의 체적 적분을 정확히 보존하여 시뮬레이션에서 물리적 일관성을 확보한다.
• 평면 그래프 표현의 사용은 위상적 강건성을 가능하게 하여 입력 메시의 기하학적 퇳성에 대해 저항력이 있다.
• 단체 분해를 통해 복잡한 교차 영역에서 2차까지의 모멘트 적분을 정확하게 계산할 수 있다.
• 구현체는 최근의 방법들과 비교해 뚜렷한 성능 향상을 보이며, 수치 안정성이 향상되고 캔슬레이션 오차가 감소한다.
• 이 방법은 2차원 응용으로 성공적으로 확장되었으며, 기하 계산에서 정확성과 강건성을 유지한다.
• 생산용 C 라이브러리가 공개되었으며, 보존적 기하 계산에서 고성능과 신뢰성을 위해 설계되었다.